Электроника:Переменный ток/Комплексные числа/Полярная и алгебраическая запись комплексных чисел: различия между версиями
Myagkij (обсуждение | вклад) (ссылки) |
Нет описания правки |
||
(не показаны 3 промежуточные версии 1 участника) | |||
Строка 13: | Строка 13: | ||
Если привести аналогию с картой, полярное обозначение вектора из [[Нью-Йорк]]а в [[Сан-Диего]] будет примерно таким: «2400 миль на юго-запад». Вот два примера [[вектор]]ов и их [[полярные обозначения]]: | Если привести аналогию с картой, полярное обозначение вектора из [[Нью-Йорк]]а в [[Сан-Диего]] будет примерно таким: «2400 миль на юго-запад». Вот два примера [[вектор]]ов и их [[полярные обозначения]]: | ||
[[File:Векторы с полярными обозначениями_1_08062021_1428.png|frame|center|Рис. 1. Векторы с полярными обозначениями.]] | [[File:Векторы с полярными обозначениями_1_08062021_1428.png|frame|center|'''Рис. 1.''' Векторы с полярными обозначениями.|alt=Сложение сложных векторов]] | ||
Стандартная ориентация векторных углов в расчётах цепей [[переменного тока]] определяет 0° как точно вправо (по горизонтали), 90° – точно вверх (по вертикали), 180° – точно влево и 270° – точно вниз. Обратите внимание, что для [[вектор]]ов, направленных «куда-то вниз» под разными углами, в полярной форме их [[векторные углы]] можно выражать как в виде положительных чисел больше 180° так и в виде отрицательных меньше 180°. | Стандартная ориентация векторных углов в расчётах цепей [[переменного тока]] определяет 0° как точно вправо (по горизонтали), 90° – точно вверх (по вертикали), 180° – точно влево и 270° – точно вниз. Обратите внимание, что для [[вектор]]ов, направленных «куда-то вниз» под разными углами, в полярной форме их [[векторные углы]] можно выражать как в виде положительных чисел больше 180° так и в виде отрицательных меньше 180°. | ||
Строка 19: | Строка 19: | ||
Например, для [[вектор]]а под углом ∠ 270° (точно вниз) можно сказать, что он имеет угол -90°. А, к примеру, один из [[вектор]]ов, изображённых на рисунке 1, направленный вправо-вниз (7,81 ∠ 230,19°) также может быть обозначен как 7,81 ∠ -129,81°. | Например, для [[вектор]]а под углом ∠ 270° (точно вниз) можно сказать, что он имеет угол -90°. А, к примеру, один из [[вектор]]ов, изображённых на рисунке 1, направленный вправо-вниз (7,81 ∠ 230,19°) также может быть обозначен как 7,81 ∠ -129,81°. | ||
[[File:Векторный компас_2_08062021_1428.png|frame|center|Рис. 2. Векторный компас.]] | [[File:Векторный компас_2_08062021_1428.png|frame|center|'''Рис. 2.''' Векторный компас.|alt=Рис. 2. Векторный компас.]] | ||
== Алгебраическая форма комплексного числа == | == Алгебраическая форма комплексного числа == | ||
Строка 31: | Строка 31: | ||
Эти строчные буквы не обозначают какую-либо физическую переменную (в частности, это не [[мгновенный ток]], также обозначаемый строчной «i»), а скорее являются математическими операторами, используемыми для того, чтобы отличить вертикальную составляющую [[вектор]]а от горизонтальной. Для целостного [[комплексного числа]] горизонтальные и вертикальные величины записываются в виде суммы: | Эти строчные буквы не обозначают какую-либо физическую переменную (в частности, это не [[мгновенный ток]], также обозначаемый строчной «i»), а скорее являются математическими операторами, используемыми для того, чтобы отличить вертикальную составляющую [[вектор]]а от горизонтальной. Для целостного [[комплексного числа]] горизонтальные и вертикальные величины записываются в виде суммы: | ||
[[File:Векторы, соответствующие им комплексные числа и описания «движение в какую сторону»_3_08062021_1428.png|frame|center|Рис. 3. Векторы, соответствующие им комплексные числа и описания «движение в какую сторону».]] | [[File:Векторы, соответствующие им комплексные числа и описания «движение в какую сторону»_3_08062021_1428.png|frame|center|'''Рис. 3.''' Векторы, соответствующие им комплексные числа и описания «движение в какую сторону».|alt=Рис. 3. Векторы, соответствующие им комплексные числа и описания «движение в какую сторону».]] | ||
В [[алгебраической форме]] длина и направление [[вектор]]а обозначаются в терминах его горизонтального и вертикального смещения, первое число – горизонтальная («вещественная») составляющая, а второе число (с префиксом «j») – вертикальная («мнимая») составляющая. | В [[алгебраической форме]] длина и направление [[вектор]]а обозначаются в терминах его горизонтального и вертикального смещения, первое число – горизонтальная («вещественная») составляющая, а второе число (с префиксом «j») – вертикальная («мнимая») составляющая. | ||
Строка 37: | Строка 37: | ||
Горизонтальная составляющая называется [[вещественной составляющей]], поскольку это измерение совместимо с обычными [[скаляр]]ными («действительными», «вещественными») числами. Вертикальная составляющая также известна как [[мнимая составляющая]], поскольку это измерение имеет направление, совершенно чуждое оси реальных чисел. | Горизонтальная составляющая называется [[вещественной составляющей]], поскольку это измерение совместимо с обычными [[скаляр]]ными («действительными», «вещественными») числами. Вертикальная составляющая также известна как [[мнимая составляющая]], поскольку это измерение имеет направление, совершенно чуждое оси реальных чисел. | ||
[[File:Векторный компас, на котором отмечены вещественная и мнимая оси_4_08062021_1428.png|frame|center|Рис. 4. Векторный компас, на котором отмечены вещественная и мнимая оси.]] | [[File:Векторный компас, на котором отмечены вещественная и мнимая оси_4_08062021_1428.png|frame|center|'''Рис. 4.''' Векторный компас, на котором отмечены вещественная и мнимая оси.|alt=Рис. 4. Векторный компас, на котором отмечены вещественная и мнимая оси.]] | ||
«Вещественная» ось графика соответствует старой доброй числовой прямой, с которой мы хорошо знакомы: на ней и находятся обычные положительные и отрицательные числа. «Мнимая» ось графика соответствует другой числовой прямой, расположенной под углом 90° к «вещественной». | «Вещественная» ось графика соответствует старой доброй числовой прямой, с которой мы хорошо знакомы: на ней и находятся обычные положительные и отрицательные числа. «Мнимая» ось графика соответствует другой числовой прямой, расположенной под углом 90° к «вещественной». | ||
Строка 45: | Строка 45: | ||
Поскольку [[вектор]]ы являются [[двухмерными объектами]], чтобы их как-то выражать, нам понадобится двухмерная «карта», т.е. нужны две числовые прямые, перпендикулярные друг другу: | Поскольку [[вектор]]ы являются [[двухмерными объектами]], чтобы их как-то выражать, нам понадобится двухмерная «карта», т.е. нужны две числовые прямые, перпендикулярные друг другу: | ||
[[File:Векторный компас с вещественной и мнимой («j») числовыми прямыми_5_08062021_1429.png|frame|center|Рис. 5. Векторный компас с вещественной и мнимой («j») числовыми прямыми.]] | [[File:Векторный компас с вещественной и мнимой («j») числовыми прямыми_5_08062021_1429.png|frame|center|'''Рис. 5.''' Векторный компас с вещественной и мнимой («j») числовыми прямыми.|alt=Рис. 5. Векторный компас с вещественной и мнимой («j») числовыми прямыми.]] | ||
== Преобразование полярной формы записи в алгебраическую == | == Преобразование полярной формы записи в алгебраическую == | ||
Строка 55: | Строка 55: | ||
Это проще понять, если изобразить алгебраические составляющие в виде [[катет]]ов прямоугольного треугольника. [[Гипотенуза]] – это сам [[вектор]] (полярная форма записи – это не что иное как длина самого [[вектор]]а и векторный угол по отношению к горизонтали). Горизонтальная и вертикальная стороны треугольника (его [[катет]]ы) – это, соответственно, «вещественная» и «мнимая» компоненты: | Это проще понять, если изобразить алгебраические составляющие в виде [[катет]]ов прямоугольного треугольника. [[Гипотенуза]] – это сам [[вектор]] (полярная форма записи – это не что иное как длина самого [[вектор]]а и векторный угол по отношению к горизонтали). Горизонтальная и вертикальная стороны треугольника (его [[катет]]ы) – это, соответственно, «вещественная» и «мнимая» компоненты: | ||
[[File:Вектор магнитуды, выраженный через действительную (+4) и мнимую (+j3) составляющие_6_08062021_1429.png|frame|center|Рис. 6. Вектор магнитуды, выраженный через действительную (+4) и мнимую (+j3) составляющие.]] | [[File:Вектор магнитуды, выраженный через действительную (+4) и мнимую (+j3) составляющие_6_08062021_1429.png|frame|center|'''Рис. 6.''' Вектор магнитуды, выраженный через действительную (+4) и мнимую (+j3) составляющие.|alt=Рис. 6. Вектор магнитуды, выраженный через действительную (+4) и мнимую (+j3) составляющие.]] | ||
[[File:Вектор магнитуды, выраженный в вещественной и мнимой единицах_7_08062021_1429.png|frame|center|Рис. 7. Вектор магнитуды, выраженный в вещественной и мнимой единицах.]] | [[File:Вектор магнитуды, выраженный в вещественной и мнимой единицах_7_08062021_1429.png|frame|center|'''Рис. 7.''' Вектор магнитуды, выраженный в вещественной и мнимой единицах.|alt=Рис. 7. Вектор магнитуды, выраженный в вещественной и мнимой единицах.]] | ||
== Преобразование из алгебраической формы записи в полярную == | == Преобразование из алгебраической формы записи в полярную == | ||
Строка 64: | Строка 64: | ||
Чтобы преобразовать [[алгебраическую форму]] в полярную, найдите [[полярную величину]] с помощью [[теоремы Пифагора]] ([[полярная величина]] – это [[гипотенуза прямоугольного треугольника]], а вещественная и [[мнимая составляющие]] – это, соответственно, смежная и противоположная стороны, т.е. [[катет]]ы прямоугольного треугольника). А угол будет равен арктангенсу мнимой составляющей, делённому на [[вещественную составляющую]]: | Чтобы преобразовать [[алгебраическую форму]] в полярную, найдите [[полярную величину]] с помощью [[теоремы Пифагора]] ([[полярная величина]] – это [[гипотенуза прямоугольного треугольника]], а вещественная и [[мнимая составляющие]] – это, соответственно, смежная и противоположная стороны, т.е. [[катет]]ы прямоугольного треугольника). А угол будет равен арктангенсу мнимой составляющей, делённому на [[вещественную составляющую]]: | ||
[[File:Преобразование прямоугольной формы записи в полярную_8_08062021_1430.png|frame|center|Рис. 8. Преобразование прямоугольной формы записи в полярную.]] | [[File:Преобразование прямоугольной формы записи в полярную_8_08062021_1430.png|frame|center|'''Рис. 8.''' Преобразование прямоугольной формы записи в полярную.|alt=Рис. 8. Преобразование прямоугольной формы записи в полярную.]] | ||
== Итог == | == Итог == | ||
Строка 75: | Строка 75: | ||
=См.также= | =См.также= | ||
=Внешние ссылки= | =Внешние ссылки= | ||
Строка 81: | Строка 81: | ||
<references /> | <references /> | ||
{{Навигационная таблица/Электроника}} | {{Навигационная таблица/Портал/Электроника}} | ||
[[Категория:Переменный ток]] | |||
[[Категория:Комплексные числа]] | |||
[[Категория:Полярная и алгебраическая запись комплексных чисел]] | |||
[[Категория:Теория]] | |||
[[Категория:Теория по электронике]] |
Текущая версия от 21:40, 22 мая 2023
Полярная и алгебраическая запись комплексных чисел[1]
Чтобы при работе с комплексными числами всякий раз не рисовать векторы, нам понадобятся какие-то стандартные математические обозначения. Существует две основные формы записи комплексных чисел: полярная и алгебраическая (в англоязычной литературе – прямоугольная).
Полярная форма комплексного числа
Полярная форма – это когда для комплексного числа указывается длина вектора (абсолютное значение, модуль) и угол вектора (обычно обозначается символом угла, который выглядит следующим образом: ∠).
Если привести аналогию с картой, полярное обозначение вектора из Нью-Йорка в Сан-Диего будет примерно таким: «2400 миль на юго-запад». Вот два примера векторов и их полярные обозначения:
Стандартная ориентация векторных углов в расчётах цепей переменного тока определяет 0° как точно вправо (по горизонтали), 90° – точно вверх (по вертикали), 180° – точно влево и 270° – точно вниз. Обратите внимание, что для векторов, направленных «куда-то вниз» под разными углами, в полярной форме их векторные углы можно выражать как в виде положительных чисел больше 180° так и в виде отрицательных меньше 180°.
Например, для вектора под углом ∠ 270° (точно вниз) можно сказать, что он имеет угол -90°. А, к примеру, один из векторов, изображённых на рисунке 1, направленный вправо-вниз (7,81 ∠ 230,19°) также может быть обозначен как 7,81 ∠ -129,81°.
Алгебраическая форма комплексного числа
С другой стороны, алгебраическая форма – это когда комплексное число обозначается соответствующими горизонтальными и вертикальными компонентами. По сути, угловой вектор считается гипотенузой прямоугольного треугольника, описываемого длинами обоих катетов.
Вместо того, чтобы описывать длину и направление вектора посредством обозначения его величины и угла, вектор описывается в терминах «насколько влево/вправо» и «насколько вверх/вниз».
Эти двумерные фигуры (имеющие горизонтальное и вертикальное измерение) обозначаются двумя числами. Чтобы различать горизонтальные и вертикальные измерения друг от друга, перед вертикальными ставится префикс в нижнем регистре «i» (так делают математики) или «j» (так делают электронщики).
Эти строчные буквы не обозначают какую-либо физическую переменную (в частности, это не мгновенный ток, также обозначаемый строчной «i»), а скорее являются математическими операторами, используемыми для того, чтобы отличить вертикальную составляющую вектора от горизонтальной. Для целостного комплексного числа горизонтальные и вертикальные величины записываются в виде суммы:
В алгебраической форме длина и направление вектора обозначаются в терминах его горизонтального и вертикального смещения, первое число – горизонтальная («вещественная») составляющая, а второе число (с префиксом «j») – вертикальная («мнимая») составляющая.
Горизонтальная составляющая называется вещественной составляющей, поскольку это измерение совместимо с обычными скалярными («действительными», «вещественными») числами. Вертикальная составляющая также известна как мнимая составляющая, поскольку это измерение имеет направление, совершенно чуждое оси реальных чисел.
«Вещественная» ось графика соответствует старой доброй числовой прямой, с которой мы хорошо знакомы: на ней и находятся обычные положительные и отрицательные числа. «Мнимая» ось графика соответствует другой числовой прямой, расположенной под углом 90° к «вещественной».
Поскольку векторы являются двухмерными объектами, чтобы их как-то выражать, нам понадобится двухмерная «карта», т.е. нужны две числовые прямые, перпендикулярные друг другу:
Преобразование полярной формы записи в алгебраическую
Для любого комплексного числа допустим любой метод записи. Главная причина, по которой у нас не одна форма записи, а две – простота ручных расчётов. Дело в том, что алгебраическая форма удобна для сложения и вычитания комплексных чисел, а полярная – для умножения и деления.
Чтобы переходить из одной формы записи к другой – хватит элементарных знаний по тригонометрии. Чтобы преобразовать полярную в алгебраическую, найдите вещественную составляющую, умножив полярную величину на косинус угла, и мнимую составляющую, умножив полярную величину на синус угла.
Это проще понять, если изобразить алгебраические составляющие в виде катетов прямоугольного треугольника. Гипотенуза – это сам вектор (полярная форма записи – это не что иное как длина самого вектора и векторный угол по отношению к горизонтали). Горизонтальная и вертикальная стороны треугольника (его катеты) – это, соответственно, «вещественная» и «мнимая» компоненты:
Преобразование из алгебраической формы записи в полярную
Чтобы преобразовать алгебраическую форму в полярную, найдите полярную величину с помощью теоремы Пифагора (полярная величина – это гипотенуза прямоугольного треугольника, а вещественная и мнимая составляющие – это, соответственно, смежная и противоположная стороны, т.е. катеты прямоугольного треугольника). А угол будет равен арктангенсу мнимой составляющей, делённому на вещественную составляющую:
Итог
- Полярная запись выражает комплексное число с точки зрения длины его вектора и углового направления от начальной точки. Пример из жизни: преодолеть 45 миль ∠ 203 ° (т.е. проехать это расстояние в направлении на запад-юго-запад).
- Алгебраическая запись выражает комплексное число с точки зрения его горизонтального и вертикального смещения. Пример (эквивалентный примеру из предыдущего пункта): проехать сначала 41 милю на запад, затем повернуть и проехать ещё 18 миль на юг.
- В алгебраической записи первая величина – это «вещественная» составляющая (горизонтальное смещение вектора), а вторая величина - «мнимая» составляющая (вертикальное смещение вектора). Мнимой составляющей предшествует строчная буква «j», которую иногда называют j-оператором.
- Как полярную, так и алгебраическую формы записи комплексного числа можно графически представить в виде прямоугольного треугольника. Гипотенуза представляет сам вектор (если ещё точнее, интерпретирует полярную форму записи: длина гипотенузы = величина вектора; угол относительно горизонтальной стороны = векторный угол). Что касается катетов, то горизонтальная сторона треугольника – это алгебраическая «вещественная» составляющая, а вертикальная сторона – это алгебраическая «мнимая» составляющая.
См.также
Внешние ссылки
- Электроника
- Перевод:valemak
- Перевод от valemak
- Перевёл valemak
- Проверка:myagkij
- Оформление:myagkij
- Редактирование:myagkij
- Страницы, где используется шаблон "Навигационная таблица/Телепорт"
- Страницы с телепортом
- Переменный ток
- Комплексные числа
- Полярная и алгебраическая запись комплексных чисел
- Теория
- Теория по электронике