Если привести аналогию с картой, полярное обозначение вектора из Нью-Йорка в Сан-Диего будет примерно таким: «2400 миль на юго-запад». Вот два примера векторов и их полярные обозначения:
Если привести аналогию с картой, полярное обозначение вектора из Нью-Йорка в Сан-Диего будет примерно таким: «2400 миль на юго-запад». Вот два примера векторов и их полярные обозначения:
Рис. 1. Векторы с полярными обозначениями.
[[File:Векторы с полярными обозначениями_1_08062021_1428.png|frame|center|Рис. 1. Векторы с полярными обозначениями.]]
Стандартная ориентация векторных углов в расчётах цепей переменного тока определяет 0° как точно вправо (по горизонтали), 90° – точно вверх (по вертикали), 180° – точно влево и 270° – точно вниз. Обратите внимание, что для векторов, направленных «куда-то вниз» под разными углами, в полярной форме их векторные углы можно выражать как в виде положительных чисел больше 180° так и в виде отрицательных меньше 180°.
Стандартная ориентация векторных углов в расчётах цепей переменного тока определяет 0° как точно вправо (по горизонтали), 90° – точно вверх (по вертикали), 180° – точно влево и 270° – точно вниз. Обратите внимание, что для векторов, направленных «куда-то вниз» под разными углами, в полярной форме их векторные углы можно выражать как в виде положительных чисел больше 180° так и в виде отрицательных меньше 180°.
Строка 19:
Строка 19:
Например, для вектора под углом ∠ 270° (точно вниз) можно сказать, что он имеет угол -90°. А, к примеру, один из векторов, изображённых на рисунке 1, направленный вправо-вниз (7,81 ∠ 230,19°) также может быть обозначен как 7,81 ∠ -129,81°.
Например, для вектора под углом ∠ 270° (точно вниз) можно сказать, что он имеет угол -90°. А, к примеру, один из векторов, изображённых на рисунке 1, направленный вправо-вниз (7,81 ∠ 230,19°) также может быть обозначен как 7,81 ∠ -129,81°.
Эти строчные буквы не обозначают какую-либо физическую переменную (в частности, это не мгновенный ток, также обозначаемый строчной «i»), а скорее являются математическими операторами, используемыми для того, чтобы отличить вертикальную составляющую вектора от горизонтальной. Для целостного комплексного числа горизонтальные и вертикальные величины записываются в виде суммы:
Эти строчные буквы не обозначают какую-либо физическую переменную (в частности, это не мгновенный ток, также обозначаемый строчной «i»), а скорее являются математическими операторами, используемыми для того, чтобы отличить вертикальную составляющую вектора от горизонтальной. Для целостного комплексного числа горизонтальные и вертикальные величины записываются в виде суммы:
Рис. 3. Векторы, соответствующие им комплексные числа и описания «движение в какую сторону».
[[File:Векторы, соответствующие им комплексные числа и описания «движение в какую сторону»_3_08062021_1428.png|frame|center|Рис. 3. Векторы, соответствующие им комплексные числа и описания «движение в какую сторону».]]
В алгебраической форме длина и направление вектора обозначаются в терминах его горизонтального и вертикального смещения, первое число – горизонтальная («вещественная») составляющая, а второе число (с префиксом «j») – вертикальная («мнимая») составляющая.
В алгебраической форме длина и направление вектора обозначаются в терминах его горизонтального и вертикального смещения, первое число – горизонтальная («вещественная») составляющая, а второе число (с префиксом «j») – вертикальная («мнимая») составляющая.
Строка 37:
Строка 37:
Горизонтальная составляющая называется вещественной составляющей, поскольку это измерение совместимо с обычными скалярными («действительными», «вещественными») числами. Вертикальная составляющая также известна как мнимая составляющая, поскольку это измерение имеет направление, совершенно чуждое оси реальных чисел.
Горизонтальная составляющая называется вещественной составляющей, поскольку это измерение совместимо с обычными скалярными («действительными», «вещественными») числами. Вертикальная составляющая также известна как мнимая составляющая, поскольку это измерение имеет направление, совершенно чуждое оси реальных чисел.
Рис. 4. Векторный компас, на котором отмечены вещественная и мнимая оси.
[[File:Векторный компас, на котором отмечены вещественная и мнимая оси_4_08062021_1428.png|frame|center|Рис. 4. Векторный компас, на котором отмечены вещественная и мнимая оси.]]
«Вещественная» ось графика соответствует старой доброй числовой прямой, с которой мы хорошо знакомы: на ней и находятся обычные положительные и отрицательные числа. «Мнимая» ось графика соответствует другой числовой прямой, расположенной под углом 90° к «вещественной».
«Вещественная» ось графика соответствует старой доброй числовой прямой, с которой мы хорошо знакомы: на ней и находятся обычные положительные и отрицательные числа. «Мнимая» ось графика соответствует другой числовой прямой, расположенной под углом 90° к «вещественной».
Строка 43:
Строка 43:
Поскольку векторы являются двухмерными объектами, чтобы их как-то выражать, нам понадобится двухмерная «карта», т.е. нужны две числовые прямые, перпендикулярные друг другу:
Поскольку векторы являются двухмерными объектами, чтобы их как-то выражать, нам понадобится двухмерная «карта», т.е. нужны две числовые прямые, перпендикулярные друг другу:
Рис. 5. Векторный компас с вещественной и мнимой («j») числовыми прямыми.
[[File:Векторный компас с вещественной и мнимой («j») числовыми прямыми_5_08062021_1429.png|frame|center|Рис. 5. Векторный компас с вещественной и мнимой («j») числовыми прямыми.]]
== Преобразование полярной формы записи в алгебраическую ==
== Преобразование полярной формы записи в алгебраическую ==
Строка 53:
Строка 53:
Это проще понять, если изобразить алгебраические составляющие в виде катетов прямоугольного треугольника. Гипотенуза – это сам вектор (полярная форма записи – это не что иное как длина самого вектора и векторный угол по отношению к горизонтали). Горизонтальная и вертикальная стороны треугольника (его катеты) – это, соответственно, «вещественная» и «мнимая» компоненты:
Это проще понять, если изобразить алгебраические составляющие в виде катетов прямоугольного треугольника. Гипотенуза – это сам вектор (полярная форма записи – это не что иное как длина самого вектора и векторный угол по отношению к горизонтали). Горизонтальная и вертикальная стороны треугольника (его катеты) – это, соответственно, «вещественная» и «мнимая» компоненты:
Рис. 6. Вектор магнитуды, выраженный через действительную (+4) и мнимую (+j3) составляющие.
[[File:Вектор магнитуды, выраженный через действительную (+4) и мнимую (+j3) составляющие_6_08062021_1429.png|frame|center|Рис. 6. Вектор магнитуды, выраженный через действительную (+4) и мнимую (+j3) составляющие.]]
Рис. 7. Вектор магнитуды, выраженный в вещественной и мнимой единицах.
[[File:Вектор магнитуды, выраженный в вещественной и мнимой единицах_7_08062021_1429.png|frame|center|Рис. 7. Вектор магнитуды, выраженный в вещественной и мнимой единицах.]]
== Преобразование из алгебраической формы записи в полярную ==
== Преобразование из алгебраической формы записи в полярную ==
Строка 61:
Строка 62:
Чтобы преобразовать алгебраическую форму в полярную, найдите полярную величину с помощью теоремы Пифагора (полярная величина – это гипотенуза прямоугольного треугольника, а вещественная и мнимая составляющие – это, соответственно, смежная и противоположная стороны, т.е. катеты прямоугольного треугольника). А угол будет равен арктангенсу мнимой составляющей, делённому на вещественную составляющую:
Чтобы преобразовать алгебраическую форму в полярную, найдите полярную величину с помощью теоремы Пифагора (полярная величина – это гипотенуза прямоугольного треугольника, а вещественная и мнимая составляющие – это, соответственно, смежная и противоположная стороны, т.е. катеты прямоугольного треугольника). А угол будет равен арктангенсу мнимой составляющей, делённому на вещественную составляющую:
Рис. 8. Преобразование прямоугольной формы записи в полярную.
[[File:Преобразование прямоугольной формы записи в полярную_8_08062021_1430.png|frame|center|Рис. 8. Преобразование прямоугольной формы записи в полярную.]]
Полярная и алгебраическая запись комплексных чисел[1]
Чтобы при работе с комплексными числами всякий раз не рисовать векторы, нам понадобятся какие-то стандартные математические обозначения. Существует две основные формы записи комплексных чисел: полярная и алгебраическая (в англоязычной литературе – прямоугольная).
Полярная форма комплексного числа
Полярная форма – это когда для комплексного числа указывается длина вектора (абсолютное значение, модуль) и угол вектора (обычно обозначается символом угла, который выглядит следующим образом: ∠).
Если привести аналогию с картой, полярное обозначение вектора из Нью-Йорка в Сан-Диего будет примерно таким: «2400 миль на юго-запад». Вот два примера векторов и их полярные обозначения:
Рис. 1. Векторы с полярными обозначениями.
Стандартная ориентация векторных углов в расчётах цепей переменного тока определяет 0° как точно вправо (по горизонтали), 90° – точно вверх (по вертикали), 180° – точно влево и 270° – точно вниз. Обратите внимание, что для векторов, направленных «куда-то вниз» под разными углами, в полярной форме их векторные углы можно выражать как в виде положительных чисел больше 180° так и в виде отрицательных меньше 180°.
Например, для вектора под углом ∠ 270° (точно вниз) можно сказать, что он имеет угол -90°. А, к примеру, один из векторов, изображённых на рисунке 1, направленный вправо-вниз (7,81 ∠ 230,19°) также может быть обозначен как 7,81 ∠ -129,81°.
Рис. 2. Векторный компас.
Алгебраическая форма комплексного числа
С другой стороны, алгебраическая форма – это когда комплексное число обозначается соответствующими горизонтальными и вертикальными компонентами. По сути, угловой вектор считается гипотенузой прямоугольного треугольника, описываемого длинами обоих катетов.
Вместо того, чтобы описывать длину и направление вектора посредством обозначения его величины и угла, вектор описывается в терминах «насколько влево/вправо» и «насколько вверх/вниз».
Эти двумерные фигуры (имеющие горизонтальное и вертикальное измерение) обозначаются двумя числами. Чтобы различать горизонтальные и вертикальные измерения друг от друга, перед вертикальными ставится префикс в нижнем регистре «i» (так делают математики) или «j» (так делают электронщики).
Эти строчные буквы не обозначают какую-либо физическую переменную (в частности, это не мгновенный ток, также обозначаемый строчной «i»), а скорее являются математическими операторами, используемыми для того, чтобы отличить вертикальную составляющую вектора от горизонтальной. Для целостного комплексного числа горизонтальные и вертикальные величины записываются в виде суммы:
Рис. 3. Векторы, соответствующие им комплексные числа и описания «движение в какую сторону».
В алгебраической форме длина и направление вектора обозначаются в терминах его горизонтального и вертикального смещения, первое число – горизонтальная («вещественная») составляющая, а второе число (с префиксом «j») – вертикальная («мнимая») составляющая.
Горизонтальная составляющая называется вещественной составляющей, поскольку это измерение совместимо с обычными скалярными («действительными», «вещественными») числами. Вертикальная составляющая также известна как мнимая составляющая, поскольку это измерение имеет направление, совершенно чуждое оси реальных чисел.
Рис. 4. Векторный компас, на котором отмечены вещественная и мнимая оси.
«Вещественная» ось графика соответствует старой доброй числовой прямой, с которой мы хорошо знакомы: на ней и находятся обычные положительные и отрицательные числа. «Мнимая» ось графика соответствует другой числовой прямой, расположенной под углом 90° к «вещественной».
Поскольку векторы являются двухмерными объектами, чтобы их как-то выражать, нам понадобится двухмерная «карта», т.е. нужны две числовые прямые, перпендикулярные друг другу:
Рис. 5. Векторный компас с вещественной и мнимой («j») числовыми прямыми.
Преобразование полярной формы записи в алгебраическую
Для любого комплексного числа допустим любой метод записи. Главная причина, по которой у нас не одна форма записи, а две – простота ручных расчётов. Дело в том, что алгебраическая форма удобна для сложения и вычитания комплексных чисел, а полярная – для умножения и деления.
Чтобы переходить из одной формы записи к другой – хватит элементарных знаний по тригонометрии. Чтобы преобразовать полярную в алгебраическую, найдите вещественную составляющую, умножив полярную величину на косинус угла, и мнимую составляющую, умножив полярную величину на синус угла.
Это проще понять, если изобразить алгебраические составляющие в виде катетов прямоугольного треугольника. Гипотенуза – это сам вектор (полярная форма записи – это не что иное как длина самого вектора и векторный угол по отношению к горизонтали). Горизонтальная и вертикальная стороны треугольника (его катеты) – это, соответственно, «вещественная» и «мнимая» компоненты:
Рис. 6. Вектор магнитуды, выраженный через действительную (+4) и мнимую (+j3) составляющие.
Рис. 7. Вектор магнитуды, выраженный в вещественной и мнимой единицах.
Преобразование из алгебраической формы записи в полярную
Чтобы преобразовать алгебраическую форму в полярную, найдите полярную величину с помощью теоремы Пифагора (полярная величина – это гипотенуза прямоугольного треугольника, а вещественная и мнимая составляющие – это, соответственно, смежная и противоположная стороны, т.е. катеты прямоугольного треугольника). А угол будет равен арктангенсу мнимой составляющей, делённому на вещественную составляющую:
Рис. 8. Преобразование прямоугольной формы записи в полярную.
Итог
Полярная запись выражает комплексное число с точки зрения длины его вектора и углового направления от начальной точки. Пример из жизни: преодолеть 45 миль ∠ 203 ° (т.е. проехать это расстояние в направлении на запад-юго-запад).
Алгебраическая запись выражает комплексное число с точки зрения его горизонтального и вертикального смещения. Пример (эквивалентный примеру из предыдущего пункта): проехать сначала 41 милю на запад, затем повернуть и проехать ещё 18 миль на юг.
В алгебраической записи первая величина – это «вещественная» составляющая (горизонтальное смещение вектора), а вторая величина - «мнимая» составляющая (вертикальное смещение вектора). Мнимой составляющей предшествует строчная буква «j», которую иногда называют j-оператором.
Как полярную, так и алгебраическую формы записи комплексного числа можно графически представить в виде прямоугольного треугольника. Гипотенуза представляет сам вектор (если ещё точнее, интерпретирует полярную форму записи: длина гипотенузы = величина вектора; угол относительно горизонтальной стороны = векторный угол). Что касается катетов, то горизонтальная сторона треугольника – это алгебраическая «вещественная» составляющая, а вертикальная сторона – это алгебраическая «мнимая» составляющая.
_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D1%8B%D0%BC%D0%B8_%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D1%8B%D0%BC%D0%B8_5_08062021_1429.png)
_%D0%B8_%D0%BC%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D1%83%D1%8E_(%2Bj3)_%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D1%8E%D1%89%D0%B8%D0%B5_6_08062021_1429.png)
