=== Сопоставление логического сложения с вентилем ИЛИ или с параллельными контактными переключателями ===
=== Сопоставление логического сложения с вентилем ИЛИ или с параллельными контактными переключателями ===
{| class="wikitable"
{| class="wikitable" style="margin:0 auto"
|-
|-
| [[File:IV-7_2_3_1.png|400px|center|thumb|'''Рис. 3.1.''' 0 + 0 = 0.|alt=Рис. 3.1. Сопоставление логического сложения с вентилем ИЛИ или с параллельными контактными переключателями (0 + 0 = 0).]] || [[File:IV-7_2_3_2.png|400px|center|thumb|'''Рис. 3.2.''' 0 + 1 = 1.|alt=Рис. 3.2. Сопоставление логического сложения с вентилем ИЛИ или с параллельными контактными переключателями (0 + 1 = 1).]]
| [[File:IV-7_2_3_1.png|400px|center|thumb|'''Рис. 3.1.''' 0 + 0 = 0.|alt=Рис. 3.1. Сопоставление логического сложения с вентилем ИЛИ или с параллельными контактными переключателями (0 + 0 = 0).]] || [[File:IV-7_2_3_2.png|400px|center|thumb|'''Рис. 3.2.''' 0 + 1 = 1.|alt=Рис. 3.2. Сопоставление логического сложения с вентилем ИЛИ или с параллельными контактными переключателями (0 + 1 = 1).]]
Строка 59:
Строка 59:
=== Сопоставление логического умножения с вентилем И или с последовательными контактными переключателями ===
=== Сопоставление логического умножения с вентилем И или с последовательными контактными переключателями ===
{| class="wikitable"
{| class="wikitable" style="margin:0 auto"
|-
|-
| [[File:IV-7_2_5_1.png|400px|center|thumb|'''Рис. 5.1.''' 0 × 0 = 0.|alt=Рис. 5.1. Сопоставление логического умножения с вентилем И или с последовательными контактными переключателями (0 × 0 = 0).]] || [[File:IV-7_2_5_2.png|400px|center|thumb|'''Рис. 5.2.''' 0 × 1 = 0.|alt=Рис. 5.2. Сопоставление логического умножения с вентилем И или с последовательными контактными переключателями (0 × 1 = 0).]]
| [[File:IV-7_2_5_1.png|400px|center|thumb|'''Рис. 5.1.''' 0 × 0 = 0.|alt=Рис. 5.1. Сопоставление логического умножения с вентилем И или с последовательными контактными переключателями (0 × 0 = 0).]] || [[File:IV-7_2_5_2.png|400px|center|thumb|'''Рис. 5.2.''' 0 × 1 = 0.|alt=Рис. 5.2. Сопоставление логического умножения с вентилем И или с последовательными контактными переключателями (0 × 1 = 0).]]
Строка 76:
Строка 76:
Например, если переменная A имеет значение 0, то дополнение к A имеет значение 1.
Например, если переменная A имеет значение 0, то дополнение к A имеет значение 1.
В логической записи для обозначения дополнения над символом переменной используется чёрточка, например:
В логической записи для обозначения дополнения над символом переменной используется горизонтальная черта над операндом, например:
[[File:IV-7_2_6.png|400px|center|thumb|'''Рис. 6.''' Переменная A и (обозначенной верхней чёрточкой) дополнение к этой переменной.|alt=Рис. 6. Переменная A и (обозначенной верхней чёрточкой) дополнение к этой переменной. ]]
[[File:IV-7_2_6.png|400px|center|thumb|'''Рис. 6.''' Переменная A и (обозначенной верхней чёрточкой) дополнение к этой переменной.|alt=Рис. 6. Переменная A и (обозначенной верхней чёрточкой) дополнение к этой переменной. ]]
Строка 82:
Строка 82:
== Вентиль «НЕ» ==
== Вентиль «НЕ» ==
В письменной форме дополнение к «A» обозначается как «НЕ-A» или «A-чёрточка». Иногда для обозначения дополнения используется символ «штрих» («'»).
В письменной форме дополнение к «A» обозначается как «НЕ-A», в разговорной речи часто используется термин «A-чёрточка». Иногда для обозначения дополнения используется символ «штрих» («'»).
Например, A' будет дополнением к A, то есть, с использованием того же символа штриха, которым обозначается производная в интегральном исчислении.
Например, A' будет дополнением к A, то есть, с использованием того же символа штриха, которым обозначается производная в интегральном исчислении.
Однако обычно символ «чёрточка» находит существенно более широкое применение, чем символ «штрих», по причинам, которые станут более очевидными позже в этой главе.
Однако обычно символ «черта» находит существенно более широкое применение, чем символ «штрих», по причинам, которые станут более очевидными позже в этой главе.
Логическое дополнение находит эквивалентность в форме логического элемента НЕ, нормально замкнутого переключателя или релейного контакта:
Логическое дополнение находит эквивалентность в форме логического элемента НЕ, нормально замкнутого переключателя или релейного контакта:
'''Сопоставление логического дополнения с вентилем НЕ или с нормально замкнутым переключателем'''
=== Сопоставление логического дополнения с вентилем НЕ или с нормально замкнутым переключателем ===
{| class="wikitable"
{| class="wikitable" style="margin:0 auto"
|-
|-
| [[File:IV-7_2_7_1.png|400px|center|thumb|'''Рис. 7.1.''' Дополнение к 0 соответствует размыканию нормально замкнутого переключателя.|alt=Рис. 7.1. Сопоставление логического дополнения с вентилем НЕ или с нормально замкнутым переключателем (дополнение к 0 соответствует размыканию нормально замкнутого переключателя).]] || [[File:IV-7_2_7_2.png|400px|center|thumb|'''Рис. 7.2.''' Сопоставление логического дополнения с вентилем НЕ или с нормально замкнутым переключателем (дополнение к 1 соответствует замыканию нормально замкнутого переключателя).|alt=Рис. 7.2.Дополнение к 1 соответствует замыканию нормально замкнутого переключателя.]]
| [[File:IV-7_2_7_1.png|400px|center|thumb|'''Рис. 7.1.''' Дополнение к 0 соответствует размыканию нормально замкнутого переключателя.|alt=Рис. 7.1. Сопоставление логического дополнения с вентилем НЕ или с нормально замкнутым переключателем (дополнение к 0 соответствует размыканию нормально замкнутого переключателя).]] || [[File:IV-7_2_7_2.png|400px|center|thumb|'''Рис. 7.2.''' Сопоставление логического дополнения с вентилем НЕ или с нормально замкнутым переключателем (дополнение к 1 соответствует замыканию нормально замкнутого переключателя).|alt=Рис. 7.2.Дополнение к 1 соответствует замыканию нормально замкнутого переключателя.]]
Строка 101:
Строка 101:
== Итог ==
== Итог ==
*Логическое сложение эквивалентно логической функции ИЛИ, а также параллельным контактным переключателям.
*''Логическое сложение'' эквивалентно логической функции ИЛИ, а также параллельным контактным переключателям.
*Логическое умножение эквивалентно логической функции И, а также последовательным контактным переключателям.
*''Логическое умножение'' эквивалентно логической функции И, а также последовательным контактным переключателям.
*Логическое дополнение эквивалентно логической функции НЕ, а также нормально замкнутым контактам реле.
*''Логическое дополнение'' эквивалентно логической функции НЕ, а также нормально замкнутым контактам реле.
А начнём изучение арифметики в булевой алгебре со сложения:
Первые три суммы выглядят осмысленно для любого, кто знаком с элементарным сложением.
Однако последняя сумма, вполне возможно, вносит больше путаницы, чем любое другое отдельное утверждение в цифровой электронике, поскольку кажется, что она противоречит фундаментальным принципам математики.
Что ж, это противоречит принципам сложения действительных величин, но не логических.
Помните, что в мире булевой алгебры есть только два возможных значения для любой величины, только два результата для любой арифметической операции: или 1 или 0.
В области логических значений не существует такой вещи, как «2». Поскольку сумма «1 + 1» определённо ненулевая, методом исключения приходим к выводу, что она должна быть равна 1.
Неважно, насколько много или насколько мало величин складывается вместе. Рассмотрим следующие суммы:
Вентиль «ИЛИ»
Внимательно посмотрите на двухчленные суммы в первой системе уравнений.
Ничего не напоминает? Ведь должно́! Да это тот же набор единиц и нулей, что и в таблице истинности для логического элемента ИЛИ.
Другими словами, логическое сложение соответствует логической функции элемента «ИЛИ», а также параллельным контактным переключателям:
Сопоставление логического сложения с вентилем ИЛИ или с параллельными контактными переключателями
Вычитание и деление
В булевой математике нет такого понятия, как вычитание.
Вычитание подразумевает существование отрицательных чисел: 5 - 3 то же самое, что 5 + (-3), а в булевой алгебре отрицательные величины запрещены.
Слегка забегая вперёд, отметим, что в булевой математике также нет такой вещи, как деление, поскольку деление на самом деле не что иное, как многократное вычитание (аналогично тому, что умножение – это многократное сложение).
Вентиль «И»
Умножение допустимо в булевой алгебре, и, к счастью, оно такое же, как и в алгебре для действительных чисел: всё, что умножается на 0, равно 0, а всё, что умножается на 1, остаётся неизменным:
Этот набор уравнений также должен показаться вам знакомым: это тот же набор, что и в таблице истинности для логического элемента И.
Другими словами, логическое умножение соответствует логической функции элемента «И», а также последовательным контактным переключателям:
Сопоставление логического умножения с вентилем И или с последовательными контактными переключателями
Дополнение к булевой переменной
Как и в «нормальной» алгебре, в булевой алгебре для обозначения переменных используются буквы алфавита.
Однако, в отличие от «нормальной» алгебры, логические переменные отмечаются всегда ЗАГЛАВНЫМИ буквами, а не строчными.
Поскольку им разрешено иметь только одно из двух возможных значений, 1 или 0, каждая переменная имеет дополнение: противоположное ей по значению.
Например, если переменная A имеет значение 0, то дополнение к A имеет значение 1.
В логической записи для обозначения дополнения над символом переменной используется горизонтальная черта над операндом, например:
Вентиль «НЕ»
В письменной форме дополнение к «A» обозначается как «НЕ-A», в разговорной речи часто используется термин «A-чёрточка». Иногда для обозначения дополнения используется символ «штрих» («'»).
Например, A' будет дополнением к A, то есть, с использованием того же символа штриха, которым обозначается производная в интегральном исчислении.
Однако обычно символ «черта» находит существенно более широкое применение, чем символ «штрих», по причинам, которые станут более очевидными позже в этой главе.
Логическое дополнение находит эквивалентность в форме логического элемента НЕ, нормально замкнутого переключателя или релейного контакта:
Сопоставление логического дополнения с вентилем НЕ или с нормально замкнутым переключателем
Базовое определение логических величин привело к простым правилам сложения и умножения и исключило как вычитание, так и деление, как недопустимые арифметические операции.
У нас есть символы для обозначения логических переменных и их дополнений. В следующем разделе мы перейдём к разработке логических тождеств.
Итог
Логическое сложение эквивалентно логической функции ИЛИ, а также параллельным контактным переключателям.
Логическое умножение эквивалентно логической функции И, а также последовательным контактным переключателям.
Логическое дополнение эквивалентно логической функции НЕ, а также нормально замкнутым контактам реле.