Английская Википедия:1 32 polytope

Orthogonal projections in E₇ Coxeter plane
Файл:Up2 3 21 t0 E7.svg 3₂₁ Шаблон:CDD	Файл:Up2 2 31 t0 E7.svg 2₃₁ Шаблон:CDD		Файл:Up2 1 32 t0 E7.svg 1₃₂ Шаблон:CDD
Файл:Up2 3 21 t1 E7.svg Rectified 3₂₁ Шаблон:CDD		Файл:Up2 3 21 t2 E7.svg birectified 3₂₁ Шаблон:CDD
Файл:Up2 2 31 t1 E7.svg Rectified 2₃₁ Шаблон:CDD		Файл:Up2 1 32 t1 E7.svg Rectified 1₃₂ Шаблон:CDD

In 7-dimensional geometry, 1₃₂ is a uniform polytope, constructed from the E7 group.

Its Coxeter symbol is 1₃₂, describing its bifurcating Coxeter-Dynkin diagram, with a single ring on the end of one of the 1-node sequences.

The rectified 1₃₂ is constructed by points at the mid-edges of the 1₃₂.

These polytopes are part of a family of 127 (2⁷-1) convex uniform polytopes in 7-dimensions, made of uniform polytope facets and vertex figures, defined by all permutations of rings in this Coxeter-Dynkin diagram: Шаблон:CDD.

1_32 polytope

1₃₂
Type	Uniform 7-polytope
Family	1_k2 polytope
Schläfli symbol	{3,3^3,2}
Coxeter symbol	1₃₂
Coxeter diagram	Шаблон:CDD
6-faces	182: 56 1₂₂Файл:Gosset 1 22 polytope.svg 126 1₃₁Файл:Demihexeract ortho petrie.svg
5-faces	4284: 756 1₂₁Файл:Demipenteract graph ortho.svg 1512 1₂₁Файл:Demipenteract graph ortho.svg 2016 {3⁴}Файл:5-simplex t0.svg
4-faces	23688: 4032 {3³}Файл:4-simplex t0.svg 7560 1₁₁Файл:Cross graph 4.svg 12096 {3³}Файл:4-simplex t0.svg
Cells	50400: 20160 {3²}Файл:3-simplex t0.svg 30240 {3²}Файл:3-simplex t0.svg
Faces	40320 {3}Файл:2-simplex t0.svg
Edges	10080
Vertices	576
Vertex figure	t₂{3⁵} Файл:6-simplex t2.svg
Petrie polygon	Octadecagon
Coxeter group	E₇, [3^3,2,1], order 2903040
Properties	convex

This polytope can tessellate 7-dimensional space, with symbol 1₃₃, and Coxeter-Dynkin diagram, Шаблон:CDD. It is the Voronoi cell of the dual E₇^* lattice.^[1]

Alternate names

Emanuel Lodewijk Elte named it V₅₇₆ (for its 576 vertices) in his 1912 listing of semiregular polytopes.^[2]
Coxeter called it 1₃₂ for its bifurcating Coxeter-Dynkin diagram, with a single ring on the end of the 1-node branch.
Pentacontihexa-hecatonicosihexa-exon (Acronym lin) - 56-126 facetted polyexon (Jonathan Bowers)^[3]

Images

Coxeter plane projections
E7	E6 / F4	B7 / A6
Файл:Up2 1 32 t0 E7.svg [18]	Файл:Up2 1 32 t0 E6.svg [12]	Файл:Up2 1 32 t0 A6.svg [7x2]
A5	D7 / B6	D6 / B5
Файл:Up2 1 32 t0 A5.svg [6]	Файл:Up2 1 32 t0 D7.svg [12/2]	Файл:Up2 1 32 t0 D6.svg [10]
D5 / B4 / A4	D4 / B3 / A2 / G2	D3 / B2 / A3
Файл:Up2 1 32 t0 D5.svg [8]	Файл:Up2 1 32 t0 D4.svg [6]	Файл:Up2 1 32 t0 D3.svg [4]

Construction

It is created by a Wythoff construction upon a set of 7 hyperplane mirrors in 7-dimensional space.

The facet information can be extracted from its Coxeter-Dynkin diagram, Шаблон:CDD

Removing the node on the end of the 2-length branch leaves the 6-demicube, 1₃₁, Шаблон:CDD

Removing the node on the end of the 3-length branch leaves the 1₂₂, Шаблон:CDD

The vertex figure is determined by removing the ringed node and ringing the neighboring node. This makes the birectified 6-simplex, 0₃₂, Шаблон:CDD

Seen in a configuration matrix, the element counts can be derived by mirror removal and ratios of Coxeter group orders.^[4]

E₇	Шаблон:CDD	k-face	f_k	f₀	f₁	f₂	f₃		f₄			f₅			f₆		k-figures	notes
A₆	Шаблон:CDD	( )	f₀	576	35	210	140	210	35	105	105	21	42	21	7	7	2r{3,3,3,3,3}	E₇/A₆ = 72*8!/7! = 576
A₃A₂A₁	Шаблон:CDD	{ }	f₁	2	10080	12	12	18	4	12	12	6	12	3	4	3	{3,3}x{3}	E₇/A₃A₂A₁ = 72*8!/4!/3!/2 = 10080
A₂A₂A₁	Шаблон:CDD	{3}	f₂	3	3	40320	2	3	1	6	3	3	6	1	3	2	{ }∨{3}	E₇/A₂A₂A₁ = 72*8!/3!/3!/2 = 40320
A₃A₂	Шаблон:CDD	{3,3}	f₃	4	6	4	20160	*	1	3	0	3	3	0	3	1	{3}∨( )	E₇/A₃A₂ = 72*8!/4!/3! = 20160
A₃A₁A₁	Шаблон:CDD	{3,3}	f₃	4	6	4	*	30240	0	2	2	1	4	1	2	2	Phyllic disphenoid	E₇/A₃A₁A₁ = 72*8!/4!/2/2 = 30240
A₄A₂	Шаблон:CDD	{3,3,3}	f₄	5	10	10	5	0	4032	*	*	3	0	0	3	0	{3}	E₇/A₄A₂ = 72*8!/5!/3! = 4032
D₄A₁	Шаблон:CDD	{3,3,4}		8	24	32	8	8	*	7560	*	1	2	0	2	1	{ }∨( )	E₇/D₄A₁ = 72*8!/8/4!/2 = 7560
A₄A₁	Шаблон:CDD	{3,3,3}		5	10	10	0	5	*	*	12096	0	2	1	1	2	{ }∨( )	E₇/A₄A₁ = 72*8!/5!/2 = 12096
D₅A₁	Шаблон:CDD	h{4,3,3,3}	f₅	16	80	160	80	40	16	10	0	756	*	*	2	0	{ }	E₇/D₅A₁ = 72*8!/16/5!/2 = 756
D₅	Шаблон:CDD	h{4,3,3,3}		16	80	160	40	80	0	10	16	*	1512	*	1	1		E₇/D₅ = 72*8!/16/5! = 1512
A₅A₁	Шаблон:CDD	{3,3,3,3,3}		6	15	20	0	15	0	0	6	*	*	2016	0	2		E₇/A₅A₁ = 72*8!/6!/2 = 2016
E₆	Шаблон:CDD	{3,3^2,2}	f₆	72	720	2160	1080	1080	216	270	216	27	27	0	56	*	( )	E₇/E₆ = 72*8!/72/6! = 56
D₆	Шаблон:CDD	h{4,3,3,3,3}	f₆	32	240	640	160	480	0	60	192	0	12	32	*	126	( )	E₇/D₆ = 72*8!/32/6! = 126

Related polytopes and honeycombs

The 1₃₂ is third in a dimensional series of uniform polytopes and honeycombs, expressed by Coxeter as 1_3k series. The next figure is the Euclidean honeycomb 1₃₃ and the final is a noncompact hyperbolic honeycomb, 1₃₄. Шаблон:1 3k polytopes

Шаблон:1 k2 polytopes

Rectified 1_32 polytope

Rectified 1₃₂
Type	Uniform 7-polytope
Schläfli symbol	t₁{3,3^3,2}
Coxeter symbol	0₃₂₁
Coxeter-Dynkin diagram	Шаблон:CDD
6-faces	758
5-faces	12348
4-faces	72072
Cells	191520
Faces	241920
Edges	120960
Vertices	10080
Vertex figure	{3,3}×{3}×{}
Coxeter group	E₇, [3^3,2,1], order 2903040
Properties	convex

The rectified 1₃₂ (also called 0₃₂₁) is a rectification of the 1₃₂ polytope, creating new vertices on the center of edge of the 1₃₂. Its vertex figure is a duoprism prism, the product of a regular tetrahedra and triangle, doubled into a prism: {3,3}×{3}×{}.

Alternate names

Rectified pentacontihexa-hecatonicosihexa-exon for rectified 56-126 facetted polyexon (acronym rolin) (Jonathan Bowers)^[5]

Construction

It is created by a Wythoff construction upon a set of 7 hyperplane mirrors in 7-dimensional space. These mirrors are represented by its Coxeter-Dynkin diagram, Шаблон:CDD, and the ring represents the position of the active mirror(s).

Removing the node on the end of the 3-length branch leaves the rectified 1₂₂ polytope, Шаблон:CDD

Removing the node on the end of the 2-length branch leaves the demihexeract, 1₃₁, Шаблон:CDD

Removing the node on the end of the 1-length branch leaves the birectified 6-simplex, Шаблон:CDD

The vertex figure is determined by removing the ringed node and ringing the neighboring node. This makes the tetrahedron-triangle duoprism prism, {3,3}×{3}×{}, Шаблон:CDD

Seen in a configuration matrix, the element counts can be derived by mirror removal and ratios of Coxeter group orders.^[6]

E₇	Шаблон:CDD	k-face	f_k	f₀	f₁	f₂			f₃					f₄						f₅					f₆			k-figures	notes
A₃A₂A₁	Шаблон:CDD	( )	f₀	10080	24	24	12	36	8	12	36	18	24	4	12	18	24	12	6	6	8	12	6	3	4	2	3	{3,3}x{3}x{ }	E₇/A₃A₂A₁ = 72*8!/4!/3!/2 = 10080
A₂A₁A₁	Шаблон:CDD	{ }	f₁	2	120960	2	1	3	1	2	6	3	3	1	3	6	6	3	1	3	3	6	2	1	3	1	2	( )v{3}v{ }	E₇/A₂A₁A₁ = 72*8!/3!/2/2 = 120960
A₂A₂	Шаблон:CDD	0₁	f₂	3	3	80640	*	*	1	1	3	0	0	1	3	3	3	0	0	3	3	3	1	0	3	1	1	{3}v( )v( )	E₇/A₂A₂ = 72*8!/3!/3! = 80640
A₂A₂A₁	Шаблон:CDD			3	3	*	40320	*	0	2	0	3	0	1	0	6	0	3	0	3	0	6	0	1	3	0	2	{3}v{ }	E₇/A₂A₂A₁ = 72*8!/3!/3!/2 = 40320
A₂A₁A₁	Шаблон:CDD			3	3	*	*	120960	0	0	2	1	2	0	1	2	4	2	1	1	2	4	2	1	2	1	2	{ }v{ }v( )	E₇/A₂A₁A₁ = 72*8!/3!/2/2 = 120960
A₃A₂	Шаблон:CDD	0₂	f₃	4	6	4	0	0	20160	*	*	*	*	1	3	0	0	0	0	3	3	0	0	0	3	1	0	{3}v( )	E₇/A₃A₂ = 72*8!/4!/3! = 20160
A₃A₂	Шаблон:CDD	0₁₁		6	12	4	4	0	*	20160	*	*	*	1	0	3	0	0	0	3	0	3	0	0	3	0	1	{3}v( )	E₇/A₃A₂ = 72*8!/4!/3! = 20160
A₃A₁	Шаблон:CDD			6	12	4	0	4	*	*	60480	*	*	0	1	1	2	0	0	1	2	2	1	0	2	1	1	Sphenoid	E₇/A₃A₁ = 72*8!/4!/2 = 60480
A₃A₁A₁	Шаблон:CDD			6	12	0	4	4	*	*	*	30240	*	0	0	2	0	2	0	1	0	4	0	1	2	0	2	{ }v{ }	E₇/A₃A₁A₁ = 72*8!/4!/2/2 = 30240
A₃A₁	Шаблон:CDD	0₂		4	6	0	0	4	*	*	*	*	60480	0	0	0	2	1	1	0	1	2	2	1	1	1	2	Sphenoid	E₇/A₃A₁ = 72*8!/4!/2 = 60480
A₄A₂	Шаблон:CDD	0₂₁	f₄	10	30	20	10	0	5	5	0	0	0	4032	*	*	*	*	*	3	0	0	0	0	3	0	0	{3}	E₇/A₄A₂ = 72*8!/5!/3! = 4032
A₄A₁	Шаблон:CDD	0₂₁		10	30	20	0	10	5	0	5	0	0	*	12096	*	*	*	*	1	2	0	0	0	2	1	0	{ }v()	E₇/A₄A₁ = 72*8!/5!/2 = 12096
D₄A₁	Шаблон:CDD	0₁₁₁		24	96	32	32	32	0	8	8	8	0	*	*	7560	*	*	*	1	0	2	0	0	2	0	1	{ }v()	E₇/D₄A₁ = 72*8!/8/4!/2 = 7560
A₄	Шаблон:CDD	0₂₁		10	30	10	0	20	0	0	5	0	5	*	*	*	24192	*	*	0	1	1	1	0	1	1	1	( )v( )v( )	E₇/A₄ = 72*8!/5! = 34192
A₄A₁	Шаблон:CDD	0₂₁		10	30	0	10	20	0	0	0	5	5	*	*	*	*	12096	*	0	0	2	0	1	1	0	2	{ }v()	E₇/A₄A₁ = 72*8!/5!/2 = 12096
A₄A₁	Шаблон:CDD	0₃		5	10	0	0	10	0	0	0	0	5	*	*	*	*	*	12096	0	0	0	2	1	0	1	2	{ }v()	E₇/A₄A₁ = 72*8!/5!/2 = 12096
D₅A₁	Шаблон:CDD	0₂₁₁	f₅	80	480	320	160	160	80	80	80	40	0	16	16	10	0	0	0	756	*	*	*	*	2	0	0	{ }	E₇/D₅A₁ = 72*8!/16/5!/2 = 756
A₅	Шаблон:CDD	0₂₂		20	90	60	0	60	15	0	30	0	15	0	6	0	6	0	0	*	4032	*	*	*	1	1	0		E₇/A₅ = 72*8!/6! = 4032
D₅	Шаблон:CDD	0₂₁₁		80	480	160	160	320	0	40	80	80	80	0	0	10	16	16	0	*	*	1512	*	*	1	0	1		E₇/D₅ = 72*8!/16/5! = 1512
A₅	Шаблон:CDD	0₃₁		15	60	20	0	60	0	0	15	0	30	0	0	0	6	0	6	*	*	*	4032	*	0	1	1		E₇/A₅ = 72*8!/6! = 4032
A₅A₁	Шаблон:CDD	0₃₁		15	60	0	20	60	0	0	0	15	30	0	0	0	0	6	6	*	*	*	*	2016	0	0	2		E₇/A₅A₁ = 72*8!/6!/2 = 2016
E₆	Шаблон:CDD	0₂₂₁	f₆	720	6480	4320	2160	4320	1080	1080	2160	1080	1080	216	432	270	432	216	0	27	72	27	0	0	56	*	*	( )	E₇/E₆ = 72*8!/72/6! = 56
A₆	Шаблон:CDD	0₃₂		35	210	140	0	210	35	0	105	0	105	0	21	0	42	0	21	0	7	0	7	0	*	576	*		E₇/A₆ = 72*8!/7! = 576
D₆	Шаблон:CDD	0₃₁₁		240	1920	640	640	1920	0	160	480	480	960	0	0	60	192	192	192	0	0	12	32	32	*	*	126		E₇/D₆ = 72*8!/32/6! = 126

Images

Coxeter plane projections
E7	E6 / F4	B7 / A6
Файл:Up2 1 32 t1 E7.svg [18]	Файл:Up2 1 32 t1 E6.svg [12]	Файл:Up2 1 32 t1 A6.svg [14]
A5	D7 / B6	D6 / B5
Файл:Up2 1 32 t1 A5.svg [6]	Файл:Up2 1 32 t1 D7.svg [12/2]	Файл:Up2 1 32 t1 D6.svg [10]
D5 / B4 / A4	D4 / B3 / A2 / G2	D3 / B2 / A3
Файл:Up2 1 32 t1 D5.svg [8]	Файл:Up2 1 32 t1 D4.svg [6]	Файл:Up2 1 32 t1 D3.svg [4]

Notes

Шаблон:Reflist

References

Шаблон:Citation
H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes, 3rd Edition, Dover New York, 1973
Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, Шаблон:ISBN [1]
- (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
Шаблон:KlitzingPolytopes o3o3o3x *c3o3o3o - lin, o3o3x3o *c3o3o3o - rolin

Шаблон:Polytopes

↑ The Voronoi Cells of the E₆^* and E₇^* Lattices Шаблон:Webarchive, Edward Pervin
↑ Elte, 1912
↑ Klitzing, (o3o3o3x *c3o3o3o - lin)
↑ Coxeter, Regular Polytopes, 11.8 Gossett figures in six, seven, and eight dimensions, p. 202-203
↑ Klitzing, (o3o3x3o *c3o3o3o - rolin)
↑ Coxeter, Regular Polytopes, 11.8 Gossett figures in six, seven, and eight dimensions, p. 202-203

[1] The Voronoi Cells of the E₆^* and E₇^* Lattices Шаблон:Webarchive, Edward Pervin

[2] Elte, 1912

[3] Klitzing, (o3o3o3x *c3o3o3o - lin)

[4] Coxeter, Regular Polytopes, 11.8 Gossett figures in six, seven, and eight dimensions, p. 202-203

[5] Klitzing, (o3o3x3o *c3o3o3o - rolin)

[6] Coxeter, Regular Polytopes, 11.8 Gossett figures in six, seven, and eight dimensions, p. 202-203

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.

Английская Википедия:1 32 polytope

Содержание

1_32 polytope

Alternate names

Images

Construction

Related polytopes and honeycombs

Rectified 1_32 polytope

Alternate names

Construction

Images

See also

Notes

References

Навигация

Действия на странице

Действия на странице

Персональные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты