In mathematics, an absolutely integrable function is a function whose absolute value is integrable, meaning that the integral of the absolute value over the whole domain is finite.
For a real-valued function, since
<math display="block">\int |f(x)| \, dx = \int f^+(x) \, dx + \int f^-(x) \, dx</math>
where
<math display="block">f^+(x) = \max (f(x),0), \ \ \ f^-(x) = \max(-f(x),0),</math>
both <math display="inline">\int f^+(x) \, dx</math> and <math display="inline">\int f^-(x) \, dx</math> must be finite. In Lebesgue integration, this is exactly the requirement for any measurable function f to be considered integrable, with the integral then equaling <math display="inline">\int f^+(x) \, dx - \int f^-(x) \, dx</math>, so that in fact "absolutely integrable" means the same thing as "Lebesgue integrable" for measurable functions.
The same thing goes for a complex-valued function. Let us define
<math display="block">f^+(x) = \max(\Re f(x),0)</math>
<math display="block">f^-(x) = \max(-\Re f(x),0)</math>
<math display="block">f^{+i}(x) = \max(\Im f(x),0)</math>
<math display="block">f^{-i}(x) = \max(-\Im f(x),0)</math>
where <math>\Re f(x)</math> and <math>\Im f(x)</math> are the real and imaginary parts of <math>f(x)</math>. Then
<math display="block">|f(x)| \le f^+(x) + f^-(x) + f^{+i}(x) + f^{-i}(x) \le \sqrt{2}\,|f(x)|</math>
so
<math display="block">\int |f(x)| \, dx \le \int f^+(x) \, dx + \int f^-(x) \, dx + \int f^{+i}(x) \, dx + \int f^{-i}(x) \, dx \le \sqrt{2}\int|f(x)| \, dx</math>
This shows that the sum of the four integrals (in the middle) is finite if and only if the integral of the absolute value is finite, and the function is Lebesgue integrable only if all the four integrals are finite. So having a finite integral of the absolute value is equivalent to the conditions for the function to be "Lebesgue integrable".
External links
References
- Tao, Terence, Analysis 2, 3rd ed., Texts and Readings in Mathematics, Hindustan Book Agency, New Delhi.
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|