Шаблон:Short description
In mathematics, the Artin approximation theorem is a fundamental result of Шаблон:Harvs in deformation theory which implies that formal power series with coefficients in a field k are well-approximated by the algebraic functions on k.
More precisely, Artin proved two such theorems: one, in 1968, on approximation of complex analytic solutions by formal solutions (in the case <math>k = \Complex</math>); and an algebraic version of this theorem in 1969.
Statement of the theorem
Let <math>\mathbf{x} = x_1, \dots, x_n</math> denote a collection of n indeterminates, <math>k[[\mathbf{x}]]</math> the ring of formal power series with indeterminates <math>\mathbf{x}</math> over a field k, and <math>\mathbf{y} = y_1, \dots, y_n</math> a different set of indeterminates. Let
- <math>f(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = 0</math>
be a system of polynomial equations in <math>k[\mathbf{x}, \mathbf{y}]</math>, and c a positive integer. Then given a formal power series solution <math>\hat{\mathbf{y}}(\mathbf{x}) \in k[[\mathbf{x}]]</math>, there is an algebraic solution <math>\mathbf{y}(\mathbf{x})</math> consisting of algebraic functions (more precisely, algebraic power series) such that
- <math>\hat{\mathbf{y}}(\mathbf{x}) \equiv \mathbf{y}(\mathbf{x}) \bmod (\mathbf{x})^c.</math>
Discussion
Given any desired positive integer c, this theorem shows that one can find an algebraic solution approximating a formal power series solution up to the degree specified by c. This leads to theorems that deduce the existence of certain formal moduli spaces of deformations as schemes. See also: Artin's criterion.
Alternative statement
The following alternative statement is given in Theorem 1.12 of Шаблон:Harvs.
Let <math>R</math> be a field or an excellent discrete valuation ring, let <math>A</math> be the henselization at a prime ideal of an <math>R</math>-algebra of finite type, let m be a proper ideal of <math>A</math>, let <math>\hat{A}</math> be the m-adic completion of <math>A</math>, and let
- <math>F\colon (A\text{-algebras}) \to (\text{sets}),</math>
be a functor sending filtered colimits to filtered colimits (Artin calls such a functor locally of finite presentation). Then for any integer c and any <math> \overline{\xi} \in F(\hat{A})</math>, there is a <math> \xi \in F(A)</math> such that
- <math>\overline{\xi} \equiv \xi \bmod m^c</math>.
See also
References
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|