In category theory, a branch of mathematics, the categorical trace is a generalization of the trace of a matrix.
Definition
The trace is defined in the context of a symmetric monoidal category C, i.e., a category equipped with a suitable notion of a product <math>\otimes</math>. (The notation reflects that the product is, in many cases, a kind of a tensor product.) An object X in such a category C is called dualizable if there is another object <math>X^\vee</math> playing the role of a dual object of X. In this situation, the trace of a morphism <math>f: X \to X</math> is defined as the composition of the following morphisms:
<math>\mathrm{tr}(f) : 1 \ \stackrel{coev}{\longrightarrow}\ X \otimes X^\vee \ \stackrel{f \otimes \operatorname{id}}{\longrightarrow}\ X \otimes X^\vee \ \stackrel{twist}{\longrightarrow}\ X^\vee \otimes X \ \stackrel{eval}{\longrightarrow}\ 1</math>
where 1 is the monoidal unit and the extremal morphisms are the coevaluation and evaluation, which are part of the definition of dualizable objects.[1]
The same definition applies, to great effect, also when C is a symmetric monoidal ∞-category.
Examples
- <math>k \to k</math>
- which is the multiplication by the trace of the endomorphism f in the usual sense of linear algebra.
- <math>\mathrm{tr}(\operatorname{id}_V) = \sum_i (-1)^i \operatorname {rank} V_i.</math>[2]
Further applications
Шаблон:Harvtxt have used categorical trace methods to prove an algebro-geometric version of the Atiyah–Bott fixed point formula, an extension of the Lefschetz fixed point formula.
References
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|