Шаблон:Short descriptionШаблон:Refimprove
In mathematics compact convergence (or uniform convergence on compact sets) is a type of convergence that generalizes the idea of uniform convergence. It is associated with the compact-open topology.
Definition
Let <math>(X, \mathcal{T})</math> be a topological space and <math>(Y,d_{Y})</math> be a metric space. A sequence of functions
- <math>f_{n} : X \to Y</math>, <math>n \in \mathbb{N},</math>
is said to converge compactly as <math>n \to \infty</math> to some function <math>f : X \to Y</math> if, for every compact set <math>K \subseteq X</math>,
- <math>f_{n}|_{K} \to f|_{K}</math>
uniformly on <math>K</math> as <math>n \to \infty</math>. This means that for all compact <math>K \subseteq X</math>,
- <math>\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in K} d_{Y} \left( f_{n} (x), f(x) \right) = 0.</math>
Examples
- If <math>X = (0, 1) \subseteq \mathbb{R}</math> and <math>Y = \mathbb{R}</math> with their usual topologies, with <math>f_{n} (x) := x^{n}</math>, then <math>f_{n}</math> converges compactly to the constant function with value 0, but not uniformly.
- If <math>X=(0,1]</math>, <math>Y=\R</math> and <math>f_n(x)=x^n</math>, then <math>f_n</math> converges pointwise to the function that is zero on <math>(0,1)</math> and one at <math>1</math>, but the sequence does not converge compactly.
- A very powerful tool for showing compact convergence is the Arzelà–Ascoli theorem. There are several versions of this theorem, roughly speaking it states that every sequence of equicontinuous and uniformly bounded maps has a subsequence that converges compactly to some continuous map.
Properties
- If <math>f_{n} \to f</math> uniformly, then <math>f_{n} \to f</math> compactly.
- If <math>(X, \mathcal{T})</math> is a compact space and <math>f_{n} \to f</math> compactly, then <math>f_{n} \to f</math> uniformly.
- If <math>(X, \mathcal{T})</math> is a locally compact space, then <math>f_{n} \to f</math> compactly if and only if <math>f_{n} \to f</math> locally uniformly.
- If <math>(X, \mathcal{T})</math> is a compactly generated space, <math>f_n\to f</math> compactly, and each <math>f_n</math> is continuous, then <math>f</math> is continuous.
See also
References
- R. Remmert Theory of complex functions (1991 Springer) p. 95
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|