Английская Википедия:Complex normal distribution

In probability theory, the family of complex normal distributions, denoted <math>\mathcal{CN}</math> or <math>\mathcal{N}_{\mathcal{C}}</math>, characterizes complex random variables whose real and imaginary parts are jointly normal.^[1] The complex normal family has three parameters: location parameter μ, covariance matrix <math>\Gamma</math>, and the relation matrix <math>C</math>. The standard complex normal is the univariate distribution with <math>\mu = 0</math>, <math>\Gamma=1</math>, and <math>C=0</math>.

An important subclass of complex normal family is called the circularly-symmetric (central) complex normal and corresponds to the case of zero relation matrix and zero mean: <math> \mu = 0 </math> and <math> C=0 </math>.^[2] This case is used extensively in signal processing, where it is sometimes referred to as just complex normal in the literature.

Definitions

Complex standard normal random variable

The standard complex normal random variable or standard complex Gaussian random variable is a complex random variable <math>Z</math> whose real and imaginary parts are independent normally distributed random variables with mean zero and variance <math>1/2</math>.^[3]Шаблон:Rp^[4]Шаблон:Rp Formally,

Шаблон:Equation box 1

where <math>Z \sim \mathcal{CN}(0,1)</math> denotes that <math>Z</math> is a standard complex normal random variable.

Complex normal random variable

Suppose <math>X</math> and <math>Y</math> are real random variables such that <math>(X,Y)^{\mathrm T}</math> is a 2-dimensional normal random vector. Then the complex random variable <math>Z=X+iY</math> is called complex normal random variable or complex Gaussian random variable.^[3]Шаблон:Rp

Шаблон:Equation box 1

Complex standard normal random vector

A n-dimensional complex random vector <math>\mathbf{Z}=(Z_1,\ldots,Z_n)^{\mathrm T}</math> is a complex standard normal random vector or complex standard Gaussian random vector if its components are independent and all of them are standard complex normal random variables as defined above.^[3]Шаблон:Rp^[4]Шаблон:Rp That <math>\mathbf{Z}</math> is a standard complex normal random vector is denoted <math>\mathbf{Z} \sim \mathcal{CN}(0,\boldsymbol{I}_n)</math>.

Шаблон:Equation box 1

Complex normal random vector

If <math>\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n)^{\mathrm T}</math> and <math>\mathbf{Y}=(Y_1,\ldots,Y_n)^{\mathrm T}</math> are random vectors in <math>\mathbb{R}^n</math> such that <math>[\mathbf{X},\mathbf{Y}]</math> is a normal random vector with <math>2n</math> components. Then we say that the complex random vector

<math>

   \mathbf{Z} = \mathbf{X} + i \mathbf{Y} \,
 </math>

is a complex normal random vector or a complex Gaussian random vector.

Шаблон:Equation box 1

Mean, covariance, and relationШаблон:Anchor

The complex Gaussian distribution can be described with 3 parameters:^[5]

<math>

   \mu = \operatorname{E}[\mathbf{Z}], \quad
   \Gamma = \operatorname{E}[(\mathbf{Z}-\mu)({\mathbf{Z}}-\mu)^{\mathrm H}], \quad
   C = \operatorname{E}[(\mathbf{Z}-\mu)(\mathbf{Z}-\mu)^{\mathrm T}],
 </math>

where <math>\mathbf{Z}^{\mathrm T}</math> denotes matrix transpose of <math>\mathbf{Z}</math>, and <math>\mathbf{Z}^{\mathrm H}</math> denotes conjugate transpose.^[3]Шаблон:Rp^[4]Шаблон:Rp

Here the location parameter <math>\mu</math> is a n-dimensional complex vector; the covariance matrix <math>\Gamma</math> is Hermitian and non-negative definite; and, the relation matrix or pseudo-covariance matrix <math>C</math> is symmetric. The complex normal random vector <math>

   \mathbf{Z}
 </math> can now be denoted as<math display="block">
   \mathbf{Z}\ \sim\ \mathcal{CN}(\mu,\ \Gamma,\ C).
 </math>Moreover, matrices <math>\Gamma</math> and <math>C</math> are such that the matrix

<math>

   P = \overline{\Gamma} - {C}^{\mathrm H}\Gamma^{-1}C
 </math>

is also non-negative definite where <math>\overline{\Gamma}</math> denotes the complex conjugate of <math>\Gamma</math>.^[5]

Relationships between covariance matrices

Шаблон:Main

As for any complex random vector, the matrices <math>\Gamma</math> and <math>C</math> can be related to the covariance matrices of <math>\mathbf{X} = \Re(\mathbf{Z})</math> and <math>\mathbf{Y} = \Im(\mathbf{Z})</math> via expressions

<math>\begin{align}

 & V_{XX} \equiv \operatorname{E}[(\mathbf{X}-\mu_X)(\mathbf{X}-\mu_X)^\mathrm T] = \tfrac{1}{2}\operatorname{Re}[\Gamma + C], \quad
   V_{XY} \equiv \operatorname{E}[(\mathbf{X}-\mu_X)(\mathbf{Y}-\mu_Y)^\mathrm T] = \tfrac{1}{2}\operatorname{Im}[-\Gamma + C], \\
 & V_{YX} \equiv \operatorname{E}[(\mathbf{Y}-\mu_Y)(\mathbf{X}-\mu_X)^\mathrm T] = \tfrac{1}{2}\operatorname{Im}[\Gamma + C], \quad\,
   V_{YY} \equiv \operatorname{E}[(\mathbf{Y}-\mu_Y)(\mathbf{Y}-\mu_Y)^\mathrm T] = \tfrac{1}{2}\operatorname{Re}[\Gamma - C],
 \end{align}</math>

and conversely

<math>\begin{align}

   & \Gamma = V_{XX} + V_{YY} + i(V_{YX} - V_{XY}), \\
   & C = V_{XX} - V_{YY} + i(V_{YX} + V_{XY}).
 \end{align}</math>

Density function

The probability density function for complex normal distribution can be computed as

<math>\begin{align}

   f(z) &= \frac{1}{\pi^n\sqrt{\det(\Gamma)\det(P)}}\, 
           \exp\!\left\{-\frac12 \begin{pmatrix}(\overline{z}-\overline\mu)^\intercal, & (z-\mu)^\intercal\end{pmatrix}
                                 \begin{pmatrix}\Gamma&C\\\overline{C}&\overline\Gamma\end{pmatrix}^{\!\!-1}\!
                                 \begin{pmatrix}z-\mu \\ \overline{z}-\overline{\mu}\end{pmatrix}
                 \right\} \\[8pt]
        &= \tfrac{\sqrt{\det\left(\overline{P^{-1}}-R^{\ast} P^{-1}R\right)\det(P^{-1})}}{\pi^n}\,
           e^{ -(z-\mu)^\ast\overline{P^{-1}}(z-\mu) + 
               \operatorname{Re}\left((z-\mu)^\intercal R^\intercal\overline{P^{-1}}(z-\mu)\right)},
 \end{align}</math>

where <math>R=C^{\mathrm H} \Gamma^{-1}</math> and <math>P=\overline{\Gamma}-RC</math>.

Characteristic function

The characteristic function of complex normal distribution is given by^[5]

<math>

   \varphi(w) = \exp\!\big\{i\operatorname{Re}(\overline{w}'\mu) - \tfrac{1}{4}\big(\overline{w}'\Gamma w + \operatorname{Re}(\overline{w}'C\overline{w})\big)\big\},
 </math>

where the argument <math>w</math> is an n-dimensional complex vector.

Properties

If <math>\mathbf{Z}</math> is a complex normal n-vector, <math>\boldsymbol{A}</math> an m×n matrix, and <math>b</math> a constant m-vector, then the linear transform <math>\boldsymbol{A}\mathbf{Z}+b</math> will be distributed also complex-normally:

<math>

   Z\ \sim\ \mathcal{CN}(\mu,\, \Gamma,\, C) \quad \Rightarrow \quad AZ+b\ \sim\ \mathcal{CN}(A\mu+b,\, A \Gamma A^{\mathrm H},\, A C A^{\mathrm T})
 </math>

If <math>\mathbf{Z}</math> is a complex normal n-vector, then

<math>

   2\Big[ (\mathbf{Z}-\mu)^{\mathrm H} \overline{P^{-1}}(\mathbf{Z}-\mu) -
          \operatorname{Re}\big((\mathbf{Z}-\mu)^{\mathrm T} R^{\mathrm T} \overline{P^{-1}}(\mathbf{Z}-\mu)\big)
    \Big]\ \sim\ \chi^2(2n)
 </math>

Central limit theorem. If <math>Z_1,\ldots,Z_T</math> are independent and identically distributed complex random variables, then

<math>

   \sqrt{T}\Big( \tfrac{1}{T}\textstyle\sum_{t=1}^T Z_t - \operatorname{E}[Z_t]\Big) \ \xrightarrow{d}\ 
   \mathcal{CN}(0,\,\Gamma,\,C),
 </math>

where <math>\Gamma = \operatorname{E}[Z Z^{\mathrm H}]</math> and <math>C = \operatorname{E}[Z Z^{\mathrm T}]</math>.

The modulus of a complex normal random variable follows a Hoyt distribution.^[6]

Circularly-symmetric central case

Definition

A complex random vector <math> \mathbf{Z} </math> is called circularly symmetric if for every deterministic <math> \varphi \in [-\pi,\pi) </math> the distribution of <math> e^{\mathrm i \varphi}\mathbf{Z} </math> equals the distribution of <math> \mathbf{Z} </math>.^[4]Шаблон:Rp Шаблон:Main

Central normal complex random vectors that are circularly symmetric are of particular interest because they are fully specified by the covariance matrix <math>\Gamma</math>.

The circularly-symmetric (central) complex normal distribution corresponds to the case of zero mean and zero relation matrix, i.e. <math>\mu = 0</math> and <math>C=0</math>.^[3]Шаблон:Rp^[7] This is usually denoted

<math>\mathbf{Z} \sim \mathcal{CN}(0,\,\Gamma)</math>

Distribution of real and imaginary parts

If <math>\mathbf{Z}=\mathbf{X}+i\mathbf{Y}</math> is circularly-symmetric (central) complex normal, then the vector <math>[\mathbf{X}, \mathbf{Y}]</math> is multivariate normal with covariance structure

<math>

   \begin{pmatrix}\mathbf{X} \\ \mathbf{Y}\end{pmatrix} \ \sim\  
   \mathcal{N}\Big( \begin{bmatrix}
                      0 \\
                      0
                    \end{bmatrix},\ 
                    \tfrac{1}{2}\begin{bmatrix}
                      \operatorname{Re}\,\Gamma & -\operatorname{Im}\,\Gamma \\
                      \operatorname{Im}\,\Gamma &  \operatorname{Re}\,\Gamma
                    \end{bmatrix}\Big)
 </math>

where <math>\Gamma=\operatorname{E}[\mathbf{Z} \mathbf{Z}^{\mathrm H}]</math>.

Probability density function

For nonsingular covariance matrix <math>\Gamma</math>, its distribution can also be simplified as^[3]Шаблон:Rp

<math>

   f_{\mathbf{Z}}(\mathbf{z}) = \tfrac{1}{\pi^n \det(\Gamma)}\, e^{ -(\mathbf{z}-\mathbf{\mu})^{\mathrm H} \Gamma^{-1} (\mathbf{z}-\mathbf{\mu})}
 </math>.

Therefore, if the non-zero mean <math>\mu</math> and covariance matrix <math>\Gamma</math> are unknown, a suitable log likelihood function for a single observation vector <math>z</math> would be

<math>

   \ln(L(\mu,\Gamma)) = -\ln (\det(\Gamma)) -\overline{(z - \mu)}' \Gamma^{-1} (z - \mu) -n \ln(\pi).
 </math>

The standard complex normal (defined in Шаблон:EquationNote)corresponds to the distribution of a scalar random variable with <math>\mu = 0</math>, <math>C=0</math> and <math>\Gamma=1</math>. Thus, the standard complex normal distribution has density

<math>

   f_Z(z) = \tfrac{1}{\pi} e^{-\overline{z}z} = \tfrac{1}{\pi} e^{-|z|^2}.
 </math>

Properties

The above expression demonstrates why the case <math>C=0</math>, <math>\mu = 0</math> is called “circularly-symmetric”. The density function depends only on the magnitude of <math>z</math> but not on its argument. As such, the magnitude <math>|z|</math> of a standard complex normal random variable will have the Rayleigh distribution and the squared magnitude <math>|z|^2</math> will have the exponential distribution, whereas the argument will be distributed uniformly on <math>[-\pi,\pi]</math>.

If <math>\left\{ \mathbf{Z}_1,\ldots,\mathbf{Z}_k \right\}</math> are independent and identically distributed n-dimensional circular complex normal random vectors with <math>\mu = 0</math>, then the random squared norm

<math>

   Q = \sum_{j=1}^k \mathbf{Z}_j^{\mathrm H} \mathbf{Z}_j = \sum_{j=1}^k \| \mathbf{Z}_j \|^2
 </math>

has the generalized chi-squared distribution and the random matrix

<math>

   W = \sum_{j=1}^k \mathbf{Z}_j \mathbf{Z}_j^{\mathrm H}
 </math>

has the complex Wishart distribution with <math>k</math> degrees of freedom. This distribution can be described by density function

<math>

   f(w) = \frac{\det(\Gamma^{-1})^k\det(w)^{k-n}}{\pi^{n(n-1)/2}\prod_{j=1}^k(k-j)!}\ 
          e^{-\operatorname{tr}(\Gamma^{-1}w)}
 </math>

where <math>k \ge n</math>, and <math>w</math> is a <math>n \times n</math> nonnegative-definite matrix.

References

Шаблон:More footnotes needed Шаблон:Reflist

Шаблон:ProbDistributions

↑ Шаблон:Cite journal
↑ bookchapter, Gallager.R, pg9.
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 ^3,5 Шаблон:Cite book
↑ ^4,0 ^4,1 ^4,2 ^4,3 Шаблон:Cite book
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 Шаблон:Cite journal
↑ Шаблон:Cite web Шаблон:Dead link
↑ bookchapter, Gallager.R

[1] Шаблон:Cite journal

[2] bookchapter, Gallager.R, pg9.

[Lapidoth-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 ^3,5 Шаблон:Cite book

[TseViswanath-4] 4,0 ^4,1 ^4,2 ^4,3 Шаблон:Cite book

[picinbono-5] 5,0 ^5,1 ^5,2 Шаблон:Cite journal

[6] Шаблон:Cite web Шаблон:Dead link

[7] bookchapter, Gallager.R

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.

Английская Википедия:Complex normal distribution

Содержание

Definitions

Complex standard normal random variable

Complex normal random variable

Complex standard normal random vector

Complex normal random vector

Mean, covariance, and relationШаблон:Anchor

Relationships between covariance matrices

Density function

Characteristic function

Properties

Circularly-symmetric central case

Definition

Distribution of real and imaginary parts

Probability density function

Properties

See also

References

Навигация

Действия на странице

Действия на странице

Персональные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты