Английская Википедия:Complex random vector

In probability theory and statistics, a complex random vector is typically a tuple of complex-valued random variables, and generally is a random variable taking values in a vector space over the field of complex numbers. If <math>Z_1,\ldots,Z_n</math> are complex-valued random variables, then the n-tuple <math>\left( Z_1,\ldots,Z_n \right)</math> is a complex random vector. Complex random variables can always be considered as pairs of real random vectors: their real and imaginary parts.

Some concepts of real random vectors have a straightforward generalization to complex random vectors. For example, the definition of the mean of a complex random vector. Other concepts are unique to complex random vectors.

Applications of complex random vectors are found in digital signal processing.

Шаблон:Probability fundamentals

Definition

A complex random vector <math> \mathbf{Z} = (Z_1,\ldots,Z_n)^T </math> on the probability space <math>(\Omega,\mathcal{F},P)</math> is a function <math> \mathbf{Z} \colon \Omega \rightarrow \mathbb{C}^n </math> such that the vector <math>(\Re{(Z_1)},\Im{(Z_1)},\ldots,\Re{(Z_n)},\Im{(Z_n)})^T </math> is a real random vector on <math>(\Omega,\mathcal{F},P)</math> where <math>\Re{(z)}</math> denotes the real part of <math>z</math> and <math>\Im{(z)}</math> denotes the imaginary part of <math>z</math>.^[1]Шаблон:Rp

Cumulative distribution function

The generalization of the cumulative distribution function from real to complex random variables is not obvious because expressions of the form <math> P(Z \leq 1+3i) </math> make no sense. However expressions of the form <math> P(\Re{(Z)} \leq 1, \Im{(Z)} \leq 3) </math> make sense. Therefore, the cumulative distribution function <math>F_{\mathbf{Z}} : \mathbb{C}^n \mapsto [0,1]</math> of a random vector <math>\mathbf{Z}=(Z_1,...,Z_n)^T </math> is defined as

Шаблон:Equation box 1 |cellpadding= 6 |border |border colour = #0073CF |background colour=#F5FFFA}}

where <math>\mathbf{z} = (z_1,...,z_n)^T</math>.

Expectation

As in the real case the expectation (also called expected value) of a complex random vector is taken component-wise.^[1]Шаблон:Rp

Шаблон:Equation box 1

Covariance matrix and pseudo-covariance matrix

Шаблон:See also

The covariance matrix (also called second central moment) <math> \operatorname{K}_{\mathbf{Z}\mathbf{Z}}</math> contains the covariances between all pairs of components. The covariance matrix of an <math>n \times 1</math> random vector is an <math>n \times n</math> matrix whose <math>(i,j)</math>^th element is the covariance between the i^th and the j^th random variables.^[2]Шаблон:Rp Unlike in the case of real random variables, the covariance between two random variables involves the complex conjugate of one of the two. Thus the covariance matrix is a Hermitian matrix.^[1]Шаблон:Rp

Шаблон:Equation box 1 |cellpadding= 6 |border |border colour = #0073CF |background colour=#F5FFFA}}

<math>

\operatorname{K}_{\mathbf{Z}\mathbf{Z}}= \begin{bmatrix}

\mathrm{E}[(Z_1 - \operatorname{E}[Z_1])\overline{(Z_1 - \operatorname{E}[Z_1])}] & \mathrm{E}[(Z_1 - \operatorname{E}[Z_1])\overline{(Z_2 - \operatorname{E}[Z_2])}] & \cdots & \mathrm{E}[(Z_1 - \operatorname{E}[Z_1])\overline{(Z_n - \operatorname{E}[Z_n])}] \\ \\
\mathrm{E}[(Z_2 - \operatorname{E}[Z_2])\overline{(Z_1 - \operatorname{E}[Z_1])}] & \mathrm{E}[(Z_2 - \operatorname{E}[Z_2])\overline{(Z_2 - \operatorname{E}[Z_2])}] & \cdots & \mathrm{E}[(Z_2 - \operatorname{E}[Z_2])\overline{(Z_n - \operatorname{E}[Z_n])}] \\ \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\
\mathrm{E}[(Z_n - \operatorname{E}[Z_n])\overline{(Z_1 - \operatorname{E}[Z_1])}] & \mathrm{E}[(Z_n - \operatorname{E}[Z_n])\overline{(Z_2 - \operatorname{E}[Z_2])}] & \cdots & \mathrm{E}[(Z_n - \operatorname{E}[Z_n])\overline{(Z_n - \operatorname{E}[Z_n])}]

\end{bmatrix} </math>

The pseudo-covariance matrix (also called relation matrix) is defined replacing Hermitian transposition by transposition in the definition above.

Шаблон:Equation box 1] = \operatorname{E}[(\mathbf{Z}-\operatorname{E}[\mathbf{Z}]){(\mathbf{Z}-\operatorname{E}[\mathbf{Z}])}^T] = \operatorname{E}[\mathbf{Z}\mathbf{Z}^T]-\operatorname{E}[\mathbf{Z}]\operatorname{E}[\mathbf{Z}^T] </math> |Шаблон:EquationRef}} |cellpadding= 6 |border |border colour = #0073CF |background colour=#F5FFFA}}

<math>

\operatorname{J}_{\mathbf{Z}\mathbf{Z}}= \begin{bmatrix}

\mathrm{E}[(Z_1 - \operatorname{E}[Z_1])(Z_1 - \operatorname{E}[Z_1])] & \mathrm{E}[(Z_1 - \operatorname{E}[Z_1])(Z_2 - \operatorname{E}[Z_2])] & \cdots & \mathrm{E}[(Z_1 - \operatorname{E}[Z_1])(Z_n - \operatorname{E}[Z_n])] \\ \\
\mathrm{E}[(Z_2 - \operatorname{E}[Z_2])(Z_1 - \operatorname{E}[Z_1])] & \mathrm{E}[(Z_2 - \operatorname{E}[Z_2])(Z_2 - \operatorname{E}[Z_2])] & \cdots & \mathrm{E}[(Z_2 - \operatorname{E}[Z_2])(Z_n - \operatorname{E}[Z_n])] \\ \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\
\mathrm{E}[(Z_n - \operatorname{E}[Z_n])(Z_1 - \operatorname{E}[Z_1])] & \mathrm{E}[(Z_n - \operatorname{E}[Z_n])(Z_2 - \operatorname{E}[Z_2])] & \cdots & \mathrm{E}[(Z_n - \operatorname{E}[Z_n])(Z_n - \operatorname{E}[Z_n])]

\end{bmatrix} </math>

Properties

The covariance matrix is a hermitian matrix, i.e.^[1]Шаблон:Rp

<math>\operatorname{K}_{\mathbf{Z}\mathbf{Z}}^H = \operatorname{K}_{\mathbf{Z}\mathbf{Z}}</math>.

The pseudo-covariance matrix is a symmetric matrix, i.e.

<math>\operatorname{J}_{\mathbf{Z}\mathbf{Z}}^T = \operatorname{J}_{\mathbf{Z}\mathbf{Z}}</math>.

The covariance matrix is a positive semidefinite matrix, i.e.

<math>\mathbf{a}^H \operatorname{K}_{\mathbf{Z}\mathbf{Z}} \mathbf{a} \ge 0 \quad \text{for all } \mathbf{a} \in \mathbb{C}^n</math>.

Covariance matrices of real and imaginary parts

Шаблон:See also

By decomposing the random vector <math>\mathbf{Z}</math> into its real part <math>\mathbf{X} = \Re{(\mathbf{Z})}</math> and imaginary part <math>\mathbf{Y} = \Im{(\mathbf{Z})}</math> (i.e. <math>\mathbf{Z}=\mathbf{X}+i\mathbf{Y}</math>), the pair <math> (\mathbf{X},\mathbf{Y})</math> has a covariance matrix of the form:

<math>

 \begin{bmatrix} 
   \operatorname{K}_{\mathbf{X}\mathbf{X}} & \operatorname{K}_{\mathbf{Y}\mathbf{X}} \\ 
   \operatorname{K}_{\mathbf{X}\mathbf{Y}} & \operatorname{K}_{\mathbf{Y}\mathbf{Y}} 
 \end{bmatrix}

</math>

The matrices <math>\operatorname{K}_{\mathbf{Z}\mathbf{Z}}</math> and <math>\operatorname{J}_{\mathbf{Z}\mathbf{Z}}</math> can be related to the covariance matrices of <math>\mathbf{X}</math> and <math>\mathbf{Y}</math> via the following expressions:

<math>\begin{align}

 & \operatorname{K}_{\mathbf{X}\mathbf{X}} = \operatorname{E}[(\mathbf{X}-\operatorname{E}[\mathbf{X}])(\mathbf{X}-\operatorname{E}[\mathbf{X}])^\mathrm T] = \tfrac{1}{2}\operatorname{Re}(\operatorname{K}_{\mathbf{Z}\mathbf{Z}} + \operatorname{J}_{\mathbf{Z}\mathbf{Z}}) \\
 & \operatorname{K}_{\mathbf{Y}\mathbf{Y}} = \operatorname{E}[(\mathbf{Y}-\operatorname{E}[\mathbf{Y}])(\mathbf{Y}-\operatorname{E}[\mathbf{Y}])^\mathrm T] = \tfrac{1}{2}\operatorname{Re}(\operatorname{K}_{\mathbf{Z}\mathbf{Z}} - \operatorname{J}_{\mathbf{Z}\mathbf{Z}}) \\
 & \operatorname{K}_{\mathbf{Y}\mathbf{X}} = \operatorname{E}[(\mathbf{Y}-\operatorname{E}[\mathbf{Y}])(\mathbf{X}-\operatorname{E}[\mathbf{X}])^\mathrm T] = \tfrac{1}{2}\operatorname{Im}(\operatorname{J}_{\mathbf{Z}\mathbf{Z}} + \operatorname{K}_{\mathbf{Z}\mathbf{Z}}) \\
 & \operatorname{K}_{\mathbf{X}\mathbf{Y}} = \operatorname{E}[(\mathbf{X}-\operatorname{E}[\mathbf{X}])(\mathbf{Y}-\operatorname{E}[\mathbf{Y}])^\mathrm T] = \tfrac{1}{2}\operatorname{Im}(\operatorname{J}_{\mathbf{Z}\mathbf{Z}} -\operatorname{K}_{\mathbf{Z}\mathbf{Z}}) \\
 \end{align}</math>

Conversely:

<math>\begin{align}

 & \operatorname{K}_{\mathbf{Z}\mathbf{Z}} = \operatorname{K}_{\mathbf{X}\mathbf{X}} + \operatorname{K}_{\mathbf{Y}\mathbf{Y}} + i(\operatorname{K}_{\mathbf{Y}\mathbf{X}} - \operatorname{K}_{\mathbf{X}\mathbf{Y}}) \\
 & \operatorname{J}_{\mathbf{Z}\mathbf{Z}} = \operatorname{K}_{\mathbf{X}\mathbf{X}} - \operatorname{K}_{\mathbf{Y}\mathbf{Y}} + i(\operatorname{K}_{\mathbf{Y}\mathbf{X}} + \operatorname{K}_{\mathbf{X}\mathbf{Y}})
 \end{align}</math>

Cross-covariance matrix and pseudo-cross-covariance matrix

The cross-covariance matrix between two complex random vectors <math>\mathbf{Z},\mathbf{W}</math> is defined as:

Шаблон:Equation box 1 |cellpadding= 6 |border |border colour = #0073CF |background colour=#F5FFFA}}

<math>\operatorname{K}_{\mathbf{Z}\mathbf{W}} =

\begin{bmatrix}

\mathrm{E}[(Z_1 - \operatorname{E}[Z_1])\overline{(W_1 - \operatorname{E}[W_1])}] & \mathrm{E}[(Z_1 - \operatorname{E}[Z_1])\overline{(W_2 - \operatorname{E}[W_2])}] & \cdots & \mathrm{E}[(Z_1 - \operatorname{E}[Z_1])\overline{(W_n - \operatorname{E}[W_n])}] \\ \\
\mathrm{E}[(Z_2 - \operatorname{E}[Z_2])\overline{(W_1 - \operatorname{E}[W_1])}] & \mathrm{E}[(Z_2 - \operatorname{E}[Z_2])\overline{(W_2 - \operatorname{E}[W_2])}] & \cdots & \mathrm{E}[(Z_2 - \operatorname{E}[Z_2])\overline{(W_n - \operatorname{E}[W_n])}] \\ \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\
\mathrm{E}[(Z_n - \operatorname{E}[Z_n])\overline{(W_1 - \operatorname{E}[W_1])}] & \mathrm{E}[(Z_n - \operatorname{E}[Z_n])\overline{(W_2 - \operatorname{E}[W_2])}] & \cdots & \mathrm{E}[(Z_n - \operatorname{E}[Z_n])\overline{(W_n - \operatorname{E}[W_n])}]

\end{bmatrix} </math>

And the pseudo-cross-covariance matrix is defined as:

Шаблон:Equation box 1] = \operatorname{E}[(\mathbf{Z}-\operatorname{E}[\mathbf{Z}]){(\mathbf{W}-\operatorname{E}[\mathbf{W}])}^T] = \operatorname{E}[\mathbf{Z}\mathbf{W}^T]-\operatorname{E}[\mathbf{Z}]\operatorname{E}[\mathbf{W}^T] </math>|Шаблон:EquationRef}} |cellpadding= 6 |border |border colour = #0073CF |background colour=#F5FFFA}}

<math>\operatorname{J}_{\mathbf{Z}\mathbf{W}} =

\begin{bmatrix}

\mathrm{E}[(Z_1 - \operatorname{E}[Z_1])(W_1 - \operatorname{E}[W_1])] & \mathrm{E}[(Z_1 - \operatorname{E}[Z_1])(W_2 - \operatorname{E}[W_2])] & \cdots & \mathrm{E}[(Z_1 - \operatorname{E}[Z_1])(W_n - \operatorname{E}[W_n])] \\ \\
\mathrm{E}[(Z_2 - \operatorname{E}[Z_2])(W_1 - \operatorname{E}[W_1])] & \mathrm{E}[(Z_2 - \operatorname{E}[Z_2])(W_2 - \operatorname{E}[W_2])] & \cdots & \mathrm{E}[(Z_2 - \operatorname{E}[Z_2])(W_n - \operatorname{E}[W_n])] \\ \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\
\mathrm{E}[(Z_n - \operatorname{E}[Z_n])(W_1 - \operatorname{E}[W_1])] & \mathrm{E}[(Z_n - \operatorname{E}[Z_n])(W_2 - \operatorname{E}[W_2])] & \cdots & \mathrm{E}[(Z_n - \operatorname{E}[Z_n])(W_n - \operatorname{E}[W_n])]

\end{bmatrix} </math>

Two complex random vectors <math>\mathbf{Z}</math> and <math>\mathbf{W}</math> are called uncorrelated if

<math>\operatorname{K}_{\mathbf{Z}\mathbf{W}}=\operatorname{J}_{\mathbf{Z}\mathbf{W}}=0</math>.

Independence

Шаблон:Main Two complex random vectors <math>\mathbf{Z}=(Z_1,...,Z_m)^T</math> and <math>\mathbf{W}=(W_1,...,W_n)^T</math> are called independent if

Шаблон:Equation box 1(\mathbf{z}) \cdot F_{\mathbf{W}}(\mathbf{w}) \quad \text{for all } \mathbf{z},\mathbf{w}</math>|Шаблон:EquationRef}} |cellpadding= 6 |border |border colour = #0073CF |background colour=#F5FFFA}}

where <math>F_{\mathbf{Z}}(\mathbf{z})</math> and <math>F_{\mathbf{W}}(\mathbf{w})</math> denote the cumulative distribution functions of <math>\mathbf{Z}</math> and <math>\mathbf{W}</math> as defined in Шаблон:EquationNote and <math>F_{\mathbf{Z,W}}(\mathbf{z,w})</math> denotes their joint cumulative distribution function. Independence of <math>\mathbf{Z}</math> and <math>\mathbf{W}</math> is often denoted by <math>\mathbf{Z} \perp\!\!\!\perp \mathbf{W}</math>. Written component-wise, <math>\mathbf{Z}</math> and <math>\mathbf{W}</math> are called independent if

<math>F_{Z_1,\ldots,Z_m,W_1,\ldots,W_n}(z_1,\ldots,z_m,w_1,\ldots,w_n) = F_{Z_1,\ldots,Z_m}(z_1,\ldots,z_m) \cdot F_{W_1,\ldots,W_n}(w_1,\ldots,w_n) \quad \text{for all } z_1,\ldots,z_m,w_1,\ldots,w_n</math>.

Circular symmetry

A complex random vector <math> \mathbf{Z} </math> is called circularly symmetric if for every deterministic <math> \varphi \in [-\pi,\pi) </math> the distribution of <math> e^{\mathrm i \varphi}\mathbf{Z} </math> equals the distribution of <math> \mathbf{Z} </math>.^[3]Шаблон:Rp

Properties

The expectation of a circularly symmetric complex random vector is either zero or it is not defined.^[3]Шаблон:Rp
The pseudo-covariance matrix of a circularly symmetric complex random vector is zero.^[3]Шаблон:Rp

Proper complex random vectors

A complex random vector <math>\mathbf{Z}</math> is called proper if the following three conditions are all satisfied:^[1]Шаблон:Rp

<math> \operatorname{E}[\mathbf{Z}] = 0 </math> (zero mean)
<math> \operatorname{var}[Z_1] < \infty , \ldots , \operatorname{var}[Z_n] < \infty </math> (all components have finite variance)
<math> \operatorname{E}[\mathbf{Z}\mathbf{Z}^T] = 0 </math>

Two complex random vectors <math>\mathbf{Z},\mathbf{W}</math> are called jointly proper is the composite random vector <math>(Z_1,Z_2,\ldots,Z_m,W_1,W_2,\ldots,W_n)^T</math> is proper.

Properties

A complex random vector <math>\mathbf{Z}</math> is proper if, and only if, for all (deterministic) vectors <math> \mathbf{c} \in \mathbb{C}^n</math> the complex random variable <math>\mathbf{c}^T \mathbf{Z}</math> is proper.^[1]Шаблон:Rp
Linear transformations of proper complex random vectors are proper, i.e. if <math>\mathbf{Z}</math> is a proper random vectors with <math>n</math> components and <math>A</math> is a deterministic <math>m \times n</math> matrix, then the complex random vector <math>A \mathbf{Z}</math> is also proper.^[1]Шаблон:Rp
Every circularly symmetric complex random vector with finite variance of all its components is proper.^[1]Шаблон:Rp
There are proper complex random vectors that are not circularly symmetric.^[1]Шаблон:Rp
A real random vector is proper if and only if it is constant.
Two jointly proper complex random vectors are uncorrelated if and only if their covariance matrix is zero, i.e. if <math>\operatorname{K}_{\mathbf{Z}\mathbf{W}} = 0</math>.

Cauchy-Schwarz inequality

The Cauchy-Schwarz inequality for complex random vectors is

<math>\left| \operatorname{E}[\mathbf{Z}^H \mathbf{W}] \right|^2 \leq \operatorname{E}[\mathbf{Z}^H \mathbf{Z}] \operatorname{E}[|\mathbf{W}^H \mathbf{W}|]</math>.

Characteristic function

The characteristic function of a complex random vector <math> \mathbf{Z} </math> with <math> n </math> components is a function <math> \mathbb{C}^n \to \mathbb{C} </math> defined by:^[1]Шаблон:Rp

<math> \varphi_{\mathbf{Z}}(\mathbf{\omega}) = \operatorname{E} \left [ e^{i\Re{(\mathbf{\omega}^H \mathbf{Z})}} \right ] = \operatorname{E} \left [ e^{i( \Re{(\omega_1)}\Re{(Z_1)} + \Im{(\omega_1)}\Im{(Z_1)} + \cdots + \Re{(\omega_n)}\Re{(Z_n)} + \Im{(\omega_n)}\Im{(Z_n)} )} \right ]</math>

References

Шаблон:Reflist

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 ^1,5 ^1,6 ^1,7 ^1,8 ^1,9 Шаблон:Cite book
↑ Шаблон:Cite book
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 Шаблон:Cite book

[Lapidoth-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 ^1,5 ^1,6 ^1,7 ^1,8 ^1,9 Шаблон:Cite book

[Gubner-2] Шаблон:Cite book

[TseViswanath-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 Шаблон:Cite book

[1]

[2]

[3]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.

Английская Википедия:Complex random vector

Содержание

Definition

Cumulative distribution function

Expectation

Covariance matrix and pseudo-covariance matrix

Covariance matrices of real and imaginary parts

Cross-covariance matrix and pseudo-cross-covariance matrix

Independence

Circular symmetry

Proper complex random vectors

Cauchy-Schwarz inequality

Characteristic function

See also

References

Навигация

Действия на странице

Действия на странице

Персональные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты