In general relativity and tensor calculus, the contracted Bianchi identities are:[1]
- <math> \nabla_\rho {R^\rho}_\mu = {1 \over 2} \nabla_{\mu} R</math>
where <math>{R^\rho}_\mu</math> is the Ricci tensor, <math>R</math> the scalar curvature, and <math>\nabla_\rho</math> indicates covariant differentiation.
These identities are named after Luigi Bianchi, although they had been already derived by Aurel Voss in 1880.[2] In the Einstein field equations, the contracted Bianchi identity ensures consistency with the vanishing divergence of the matter stress–energy tensor.
Proof
Start with the Bianchi identity[3]
- <math> R_{abmn;\ell} + R_{ab\ell m;n} + R_{abn\ell;m} = 0.</math>
Contract both sides of the above equation with a pair of metric tensors:
- <math> g^{bn} g^{am} (R_{abmn;\ell} + R_{ab\ell m;n} + R_{abn\ell;m}) = 0,</math>
- <math> g^{bn} (R^m {}_{bmn;\ell} - R^m {}_{bm\ell;n} + R^m {}_{bn\ell;m}) = 0,</math>
- <math> g^{bn} (R_{bn;\ell} - R_{b\ell;n} - R_b {}^m {}_{n\ell;m}) = 0,</math>
- <math> R^n {}_{n;\ell} - R^n {}_{\ell;n} - R^{nm} {}_{n\ell;m} = 0.</math>
The first term on the left contracts to yield a Ricci scalar, while the third term contracts to yield a mixed Ricci tensor,
- <math> R_{;\ell} - R^n {}_{\ell;n} - R^m {}_{\ell;m} = 0.</math>
The last two terms are the same (changing dummy index n to m) and can be combined into a single term which shall be moved to the right,
- <math> R_{;\ell} = 2 R^m {}_{\ell;m},</math>
which is the same as
- <math> \nabla_m R^m {}_\ell = {1 \over 2} \nabla_\ell R.</math>
Swapping the index labels l and m on the left side yields
- <math> \nabla_\ell R^\ell {}_m = {1 \over 2} \nabla_m R.</math>
See also
Notes
Шаблон:Reflist
References
Шаблон:Mathematics-stub
Шаблон:Relativity-stub
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|