Шаблон:Short description
In mathematics, the Dirichlet energy is a measure of how variable a function is. More abstractly, it is a quadratic functional on the Sobolev space Шаблон:Math. The Dirichlet energy is intimately connected to Laplace's equation and is named after the German mathematician Peter Gustav Lejeune Dirichlet.
Definition
Given an open set Шаблон:Math and a function Шаблон:Math the Dirichlet energy of the function Шаблон:Math is the real number
- <math>E[u] = \frac 1 2 \int_\Omega \| \nabla u(x) \|^2 \, dx,</math>
where Шаблон:Math denotes the gradient vector field of the function Шаблон:Math.
Properties and applications
Since it is the integral of a non-negative quantity, the Dirichlet energy is itself non-negative, i.e. Шаблон:Math for every function Шаблон:Math.
Solving Laplace's equation <math>-\Delta u(x) = 0</math> for all <math>x \in \Omega</math>, subject to appropriate boundary conditions, is equivalent to solving the variational problem of finding a function Шаблон:Math that satisfies the boundary conditions and has minimal Dirichlet energy.
Such a solution is called a harmonic function and such solutions are the topic of study in potential theory.
In a more general setting, where Шаблон:Math is replaced by any Riemannian manifold Шаблон:Math, and Шаблон:Math is replaced by Шаблон:Math for another (different) Riemannian manifold Шаблон:Math, the Dirichlet energy is given by the sigma model. The solutions to the Lagrange equations for the sigma model Lagrangian are those functions Шаблон:Math that minimize/maximize the Dirichlet energy. Restricting this general case back to the specific case of Шаблон:Math just shows that the Lagrange equations (or, equivalently, the Hamilton–Jacobi equations) provide the basic tools for obtaining extremal solutions.
See also
References
| Партнерские ресурсы |
|---|
| Криптовалюты |
|
|---|
| Магазины |
|
|---|
| Хостинг |
|
|---|
| Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
|---|
