Шаблон:Short description
In mathematics, Dixon's identity (or Dixon's theorem or Dixon's formula) is any of several different but closely related identities proved by A. C. Dixon, some involving finite sums of products of three binomial coefficients, and some evaluating a hypergeometric sum. These identities famously follow from the MacMahon Master theorem, and can now be routinely proved by computer algorithms Шаблон:Harv.
Statements
The original identity, from Шаблон:Harv, is
- <math>\sum_{k=-a}^{a}(-1)^{k}{2a\choose k+a}^3 =\frac{(3a)!}{(a!)^3}.</math>
A generalization, also sometimes called Dixon's identity, is
- <math>\sum_{k\in\mathbb{Z}}(-1)^k{a+b\choose a+k} {b+c\choose b+k}{c+a\choose c+k} = \frac{(a+b+c)!}{a!b!c!}</math>
where a, b, and c are non-negative integers Шаблон:Harv.
The sum on the left can be written as the terminating well-poised hypergeometric series
- <math>{b+c\choose b-a}{c+a\choose c-a}{}_3F_2(-2a,-a-b,-a-c;1+b-a,1+c-a;1)</math>
and the identity follows as a limiting case (as a tends to an integer) of
Dixon's theorem evaluating a well-poised 3F2 generalized hypergeometric series at 1, from Шаблон:Harv:
- <math>\;_3F_2 (a,b,c;1+a-b,1+a-c;1)=
\frac{\Gamma(1+a/2)\Gamma(1+a/2-b-c)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)}
{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-b-c)\Gamma(1+a/2-b)\Gamma(1+a/2-c)}.</math>
This holds for Re(1 + Шаблон:Fraca − b − c) > 0. As c tends to −∞ it reduces to Kummer's formula for the hypergeometric function 2F1 at −1. Dixon's theorem can be deduced from the evaluation of the Selberg integral.
q-analogues
A q-analogue of Dixon's formula for the basic hypergeometric series in terms of the q-Pochhammer symbol is given by
- <math>\;_4 \varphi_3 \left[\begin{matrix}
a & -qa^{1/2} & b & c \\
&-a^{1/2} & aq/b & aq/c \end{matrix}
- q,qa^{1/2}/bc \right] =
\frac{(aq,aq/bc,qa^{1/2}/b,qa^{1/2}/c;q)_\infty}{(aq/b,aq/c,qa^{1/2},qa^{1/2}/bc;q)_\infty}
</math>
where |qa1/2/bc| < 1.
References
Шаблон:Reflist
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|