In mathematics, flat convergence is a notion for convergence of submanifolds of Euclidean space. It was first introduced by Hassler Whitney in 1957, and then extended to integral currents by Federer and Fleming in 1960. It forms a fundamental part of the field of geometric measure theory. The notion was applied to find solutions to Plateau's problem. In 2001 the notion of an integral current was extended to arbitrary metric spaces by Ambrosio and Kirchheim.
Integral currents
A k-dimensional current T is a linear functional on the space <math>\Omega^k_c(\mathbb{R}^n)</math> of smooth, compactly supported k-forms. For example, given a Lipschitz map from a manifold into Euclidean space, <math>F: N^k \to \mathbb{R}^n</math>, one has an integral current T(ω) defined by integrating the pullback of the differential k-form, ω, over N. Currents have a notion of boundary <math>\partial{T} </math>
(which is the usual boundary when N is a manifold with boundary) and a notion of mass, M(T), (which is the volume of the image of N). An integer rectifiable current is defined as a countable sum of currents formed in this respect. An integral current is an integer rectifiable current whose boundary has finite mass. It is a deep theorem of Federer-Fleming that the boundary is then also an integral current.
Flat norm and flat distance
The flat norm |T| of a k-dimensional integral current T is the infimum of M(A) + M(B), where the infimum is taken over all integral currents A and B such that <math>T=A + \partial B</math>.
The flat distance between two integral currents is then dF(T,S) = |T − S|.
Compactness theorem
Federer-Fleming proved that if one has a sequence of integral currents <math>T_i</math> whose supports lie in a compact set K with a uniform upper bound on <math>M(T_i) + M(\partial T_i)</math>, then a subsequence converges in the flat sense to an integral current.
This theorem was applied to study sequences of submanifolds of fixed boundary whose volume approached the infimum over all volumes of submanifolds with the given boundary. It produced a candidate weak solution to Plateau's problem.
References
| Партнерские ресурсы |
|---|
| Криптовалюты |
|
|---|
| Магазины |
|
|---|
| Хостинг |
|
|---|
| Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
|---|
