Английская Википедия:Gauss–Seidel method

Шаблон:Short description In numerical linear algebra, the Gauss–Seidel method, also known as the Liebmann method or the method of successive displacement, is an iterative method used to solve a system of linear equations. It is named after the German mathematicians Carl Friedrich Gauss and Philipp Ludwig von Seidel, and is similar to the Jacobi method. Though it can be applied to any matrix with non-zero elements on the diagonals, convergence is only guaranteed if the matrix is either strictly diagonally dominant,^[1] or symmetric and positive definite. It was only mentioned in a private letter from Gauss to his student Gerling in 1823.^[2] A publication was not delivered before 1874 by Seidel.^[3]

Description

Let <math display="inline">A\mathbf x = \mathbf b</math> be a square system of Шаблон:Mvar linear equations, where:

<math display="block">A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} , \qquad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}.</math>

When <math>A</math> and <math>\mathbf b</math> are known, and <math>\mathbf x</math> is unknown, we can use the Gauss–Seidel method to approximate <math>\mathbf x</math>. The vector <math>\mathbf x^{(0)}</math> denotes our initial guess for <math>\mathbf x</math> (often <math>\mathbf x^{(0)}_i=0</math> for <math>i=1,2,...,n</math>). We denote <math>\mathbf{x}^{(k)}</math> as the Шаблон:Mvar-th approximation or iteration of <math>\mathbf{x}</math>, and <math>\mathbf{x}^{(k+1)}</math> is the next (or k+1) iteration of <math>\mathbf{x}</math>.

Matrix-based formula

The solution is obtained iteratively via <math display="block"> L_* \mathbf{x}^{(k+1)} = \mathbf{b} - U \mathbf{x}^{(k)}, </math> where the matrix <math>A</math> is decomposed into a lower triangular component <math>L_*</math>, and a strictly upper triangular component <math>U</math> such that <math> A = L_* + U </math>.^[4] More specifically, the decomposition of <math>A</math> into <math>L_*</math> and <math>U</math> is given by:

<math display="block">A = \underbrace{ \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} }_{\textstyle L_*} + \underbrace{ \begin{bmatrix} 0 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & 0 & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} }_{\textstyle U} . </math>

Why the matrix-based formula works

The system of linear equations may be rewritten as:

<math>\begin{alignat}{1}

A\mathbf x &= \mathbf b \\ (L_*+U) \mathbf x &= \mathbf b \\ L_* \mathbf x+U\mathbf x &= \mathbf b \\ L_* \mathbf{x} &= \mathbf{b} - U \mathbf{x} \end{alignat} </math>

The Gauss–Seidel method now solves the left hand side of this expression for <math>\mathbf{x}</math>, using previous value for <math>\mathbf{x}</math> on the right hand side. Analytically, this may be written as: <math display="block"> \mathbf{x}^{(k+1)} = L_*^{-1} \left(\mathbf{b} - U \mathbf{x}^{(k)}\right). </math>

Element-based formula

However, by taking advantage of the triangular form of <math>L_*</math>, the elements of <math>\mathbf{x}^{(k+1)}</math> can be computed sequentially for each row <math>i</math> using forward substitution:^[5] <math display="block"> x^{(k+1)}_i = \frac{1}{a_{ii}} \left(b_i - \sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}x^{(k+1)}_j - \sum_{j=i+1}^{n}a_{ij}x^{(k)}_j \right),\quad i=1,2,\dots,n. </math>

Notice that the formula uses two summations per iteration which can be expressed as one summation <math>\sum_{j \ne i} a_{ij}x_j</math> that uses the most recently calculated iteration of <math>x_j</math>. The procedure is generally continued until the changes made by an iteration are below some tolerance, such as a sufficiently small residual.

Discussion

The element-wise formula for the Gauss–Seidel method is similar to that of the Jacobi method.

The computation of <math>\mathbf{x}^{(k+1)}</math> uses the elements of <math>\mathbf{x}^{(k+1)}</math> that have already been computed, and only the elements of <math>\mathbf{x}^{(k)}</math> that have not been computed in the Шаблон:Math-th iteration. This means that, unlike the Jacobi method, only one storage vector is required as elements can be overwritten as they are computed, which can be advantageous for very large problems.

However, unlike the Jacobi method, the computations for each element are generally much harder to implement in parallel, since they can have a very long critical path, and are thus most feasible for sparse matrices. Furthermore, the values at each iteration are dependent on the order of the original equations.

Gauss-Seidel is the same as successive over-relaxation with <math>\omega=1</math>.

Convergence

The convergence properties of the Gauss–Seidel method are dependent on the matrix A. Namely, the procedure is known to converge if either:

Шаблон:Mvar is symmetric positive-definite,^[6] or
Шаблон:Mvar is strictly or irreducibly diagonally dominant.^[7]

The Gauss–Seidel method sometimes converges even if these conditions are not satisfied.

Golub and Van Loan give a theorem for an algorithm that splits <math>A</math> into two parts. Suppose <math>A = M - N</math> is nonsingular. Let <math>r = \rho(M^{-1}N)</math> be the spectral radius of <math>M^{-1}N</math>. Then the iterates <math>x^{(k)}</math> defined by <math>Mx^{(k+1)} = Nx^{(k)} + b</math> converge to <math>x = A^{-1}b</math> for any starting vector <math>x^{(0)}</math> if <math>M</math> is nonsingular and <math>r < 1</math>.^[8]

Algorithm

Since elements can be overwritten as they are computed in this algorithm, only one storage vector is needed, and vector indexing is omitted. The algorithm goes as follows:

algorithm Gauss–Seidel method is
    inputs: Шаблон:Var, Шаблон:Var
    Шаблон:Nowrap

    Шаблон:Nowrap
    repeat until convergence
        for Шаблон:Var from 1 until Шаблон:Var do
            Шаблон:Nowrap
            for Шаблон:Var from 1 until Шаблон:Var do
                if Шаблон:Var ≠ Шаблон:Var then
                    Шаблон:Nowrap
                end if
            end (Шаблон:Var-loop)
            Шаблон:Nowrap
        end (Шаблон:Var-loop)
        check if convergence is reached
    end (repeat)

Examples

An example for the matrix version

A linear system shown as <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math> is given by: <math display="block"> A=

     \begin{bmatrix}
          16  &   3 \\
           7  & -11 \\
          \end{bmatrix}

\quad \text{and} \quad

b=
     \begin{bmatrix}
          11 \\
          13
          \end{bmatrix}.

</math>

We want to use the equation <math display="block"> \mathbf{x}^{(k+1)} = L_*^{-1} (\mathbf{b} - U \mathbf{x}^{(k)}) </math> in the form <math display="block"> \mathbf{x}^{(k+1)} = T \mathbf{x}^{(k)} + C </math> where:

<math>T = - L_*^{-1} U \quad \text{and} \quad C = L_*^{-1} \mathbf{b}.</math>

We must decompose <math>A</math> into the sum of a lower triangular component <math>L_*</math> and a strict upper triangular component <math>U</math>: <math display="block"> L_*=

     \begin{bmatrix}
          16 &   0 \\
          7  & -11 \\
          \end{bmatrix}

\quad \text{and} \quad U =

       \begin{bmatrix}
          0 & 3 \\
          0 & 0
       \end{bmatrix}.</math>

The inverse of <math>L_*</math> is: <math display="block"> L_*^{-1} =

     \begin{bmatrix}
          16 &   0 \\
          7  & -11
          \end{bmatrix}^{-1}
     =
     \begin{bmatrix}
          0.0625 &  0.0000 \\
          0.0398 & -0.0909 \\
          \end{bmatrix}.

</math>

Now we can find: <math display="block">\begin{align}

T &= -
     \begin{bmatrix}
          0.0625 &  0.0000 \\
          0.0398 & -0.0909
     \end{bmatrix}
     \begin{bmatrix}
          0 & 3 \\
          0 & 0
     \end{bmatrix}
     =
     \begin{bmatrix}
          0.000 & -0.1875 \\
          0.000 & -0.1194
     \end{bmatrix},

\\[1ex]

C &=
     \begin{bmatrix}
          0.0625 &  0.0000 \\
          0.0398 & -0.0909
     \end{bmatrix}
     \begin{bmatrix}
          11 \\
          13
     \end{bmatrix}
     =
     \begin{bmatrix}
          0.6875 \\
         -0.7439
     \end{bmatrix}.

\end{align}</math>

Now we have <math>T</math> and <math>C</math> and we can use them to obtain the vectors <math>\mathbf{x}</math> iteratively.

First of all, we have to choose <math>\mathbf{x}^{(0)}</math>: we can only guess. The better the guess, the quicker the algorithm will perform.

We choose a starting point: <math display="block"> x^{(0)} = \begin{bmatrix} 1.0 \\ 1.0 \end{bmatrix}.</math>

We can then calculate: <math display="block">\begin{align}

x^{(1)} &=
     \begin{bmatrix}
          0.000 & -0.1875 \\
          0.000 & -0.1193
     \end{bmatrix}
     \begin{bmatrix}
          1.0 \\
          1.0
     \end{bmatrix}
     +
     \begin{bmatrix}
          0.6875 \\
         -0.7443
     \end{bmatrix}
     =
     \begin{bmatrix}
          0.5000 \\
         -0.8636
     \end{bmatrix}.

\\[1ex]

x^{(2)} &=
     \begin{bmatrix}
          0.000 & -0.1875 \\
          0.000 & -0.1193
     \end{bmatrix}
     \begin{bmatrix}
          0.5000 \\
         -0.8636
     \end{bmatrix}
     +
     \begin{bmatrix}
          0.6875 \\
         -0.7443
     \end{bmatrix}
     =
     \begin{bmatrix}
          0.8494 \\
         -0.6413
     \end{bmatrix}.

\\[1ex]

x^{(3)} &=
     \begin{bmatrix}
          0.000 & -0.1875 \\
          0.000 & -0.1193
     \end{bmatrix}
     \begin{bmatrix}
          0.8494 \\
         -0.6413 \\
     \end{bmatrix}
     +
     \begin{bmatrix}
          0.6875 \\
         -0.7443
     \end{bmatrix}
     =
     \begin{bmatrix}
          0.8077 \\
         -0.6678
     \end{bmatrix}.

\\[1ex]

x^{(4)} &=
     \begin{bmatrix}
          0.000 & -0.1875 \\
          0.000 & -0.1193
     \end{bmatrix}
     \begin{bmatrix}
          0.8077 \\
         -0.6678
     \end{bmatrix}
     +
     \begin{bmatrix}
          0.6875 \\
         -0.7443
     \end{bmatrix}
     =
     \begin{bmatrix}
          0.8127 \\
         -0.6646
     \end{bmatrix}.

\\[1ex]

x^{(5)} &=
     \begin{bmatrix}
          0.000 & -0.1875 \\
          0.000 & -0.1193
     \end{bmatrix}
     \begin{bmatrix}
          0.8127 \\
         -0.6646
     \end{bmatrix}
     +
     \begin{bmatrix}
          0.6875 \\
         -0.7443
     \end{bmatrix}
     =
     \begin{bmatrix}
          0.8121 \\
         -0.6650
     \end{bmatrix}.

\\[1ex]

x^{(6)} &=
     \begin{bmatrix}
          0.000 & -0.1875 \\
          0.000 & -0.1193
     \end{bmatrix}
     \begin{bmatrix}
          0.8121 \\
         -0.6650
     \end{bmatrix}
     +
     \begin{bmatrix}
          0.6875 \\
         -0.7443
     \end{bmatrix}
     =
     \begin{bmatrix}
          0.8122 \\
         -0.6650
     \end{bmatrix}.

\\[1ex]

x^{(7)} &=
     \begin{bmatrix}
          0.000 & -0.1875 \\
          0.000 & -0.1193
     \end{bmatrix}
     \begin{bmatrix}
          0.8122 \\
         -0.6650
     \end{bmatrix}
     +
     \begin{bmatrix}
          0.6875 \\
         -0.7443
     \end{bmatrix}
     =
     \begin{bmatrix}
          0.8122 \\
         -0.6650
     \end{bmatrix}.

\end{align}</math>

As expected, the algorithm converges to the exact solution: <math display="block"> \mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b} \approx \begin{bmatrix} 0.8122\\ -0.6650 \end{bmatrix}. </math>

In fact, the matrix Шаблон:Mvar is strictly diagonally dominant (but not positive definite).

Another example for the matrix version

Another linear system shown as <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math> is given by:

<math display="block"> A=

     \begin{bmatrix}
          2 & 3 \\
          5 & 7 \\
          \end{bmatrix}

\quad \text{and} \quad b =

     \begin{bmatrix}
          11 \\
          13 \\
          \end{bmatrix}.

</math>

We want to use the equation <math display="block"> \mathbf{x}^{(k+1)} = L_*^{-1} (\mathbf{b} - U \mathbf{x}^{(k)}) </math> in the form <math display="block"> \mathbf{x}^{(k+1)} = T \mathbf{x}^{(k)} + C </math> where:

<math>T = - L_*^{-1} U \quad \text{and} \quad C = L_*^{-1} \mathbf{b}.</math>

We must decompose <math>A</math> into the sum of a lower triangular component <math>L_*</math> and a strict upper triangular component <math>U</math>: <math display="block"> L_*=

     \begin{bmatrix}
          2 & 0 \\
          5 & 7 \\
          \end{bmatrix}

\quad \text{and} \quad U =

       \begin{bmatrix}
          0 & 3 \\
          0 & 0 \\
       \end{bmatrix}.</math>

The inverse of <math>L_*</math> is: <math display="block"> L_*^{-1} =

     \begin{bmatrix}
          2 & 0 \\
          5 & 7 \\
          \end{bmatrix}^{-1}
     =
     \begin{bmatrix}
          0.500 & 0.000 \\
         -0.357 & 0.143 \\
          \end{bmatrix}

.</math>

Now we can find: <math display="block">\begin{align}

T &= -
     \begin{bmatrix}
          0.500 & 0.000 \\
         -0.357 & 0.143 \\
     \end{bmatrix}
     \begin{bmatrix}
          0 & 3 \\
          0 & 0 \\
     \end{bmatrix}
     =
     \begin{bmatrix}
          0.000 & -1.500 \\
          0.000 &  1.071 \\
     \end{bmatrix},

\\[1ex]

C &=
     \begin{bmatrix}
          0.500 & 0.000 \\
         -0.357 & 0.143 \\
     \end{bmatrix}
     \begin{bmatrix}
          11 \\
          13 \\
     \end{bmatrix}
     =
     \begin{bmatrix}
          5.500 \\
         -2.071 \\
     \end{bmatrix}.

\end{align}</math>

Now we have <math>T</math> and <math>C</math> and we can use them to obtain the vectors <math>\mathbf{x}</math> iteratively.

First of all, we have to choose <math>\mathbf{x}^{(0)}</math>: we can only guess. The better the guess, the quicker will perform the algorithm.

We suppose: <math display="block"> x^{(0)} = \begin{bmatrix} 1.1 \\ 2.3 \end{bmatrix}.</math>

We can then calculate: <math display="block">\begin{align}

x^{(1)} &=
     \begin{bmatrix}
          0 & -1.500 \\
          0 &  1.071 \\
     \end{bmatrix}
     \begin{bmatrix}
          1.1 \\
          2.3 \\
     \end{bmatrix}
     +
     \begin{bmatrix}
          5.500 \\
         -2.071 \\
     \end{bmatrix}
     =
     \begin{bmatrix}
          2.050 \\
          0.393 \\
     \end{bmatrix}.

\\[1ex]

x^{(2)} &=
     \begin{bmatrix}
          0 & -1.500 \\
          0 &  1.071 \\
     \end{bmatrix}
     \begin{bmatrix}
          2.050 \\
          0.393 \\
     \end{bmatrix}
     +
     \begin{bmatrix}
          5.500 \\
         -2.071 \\
     \end{bmatrix}
     =
     \begin{bmatrix}
          4.911 \\
         -1.651
     \end{bmatrix}.

\\[1ex]

x^{(3)} &= \cdots.

\end{align}</math>

If we test for convergence we'll find that the algorithm diverges. In fact, the matrix A is neither diagonally dominant nor positive definite. Then, convergence to the exact solution <math display="block"> \mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b} = \begin{bmatrix} -38\\ 29 \end{bmatrix} </math> is not guaranteed and, in this case, will not occur.

An example for the equation version

Suppose given Шаблон:Mvar equations where x_n are vectors of these equations and starting point x₀. From the first equation solve for x₁ in terms of <math>x_{n+1}, x_{n+2}, \dots, x_n.</math> For the next equations substitute the previous values of xs.

To make it clear consider an example. <math display="block">\begin{array}{rrrrl} 10x_1 &- x_2 &+ 2x_3 & & = 6, \\

-x_1 &+ 11x_2 &-   x_3 &+ 3x_4 & =  25, \\
2x_1 &-   x_2 &+ 10x_3 &-  x_4 & =  -11, \\
     &   3x_2 &-   x_3 &+ 8x_4 & =  15.

\end{array}</math>

Solving for <math>x_1, x_2, x_3</math> and <math>x_4</math> gives: <math display="block">\begin{align} x_1 & = x_2/10 - x_3/5 + 3/5, \\ x_2 & = x_1/11 + x_3/11 - 3x_4/11 + 25/11, \\ x_3 & = -x_1/5 + x_2/10 + x_4/10 - 11/10, \\ x_4 & = -3x_2/8 + x_3/8 + 15/8. \end{align}</math>

Suppose we choose Шаблон:Math as the initial approximation, then the first approximate solution is given by <math display="block">\begin{align} x_1 & = 3/5 = 0.6, \\ x_2 & = (3/5)/11 + 25/11 = 3/55 + 25/11 = 2.3272, \\ x_3 & = -(3/5)/5 +(2.3272)/10-11/10 = -3/25 + 0.23272-1.1 = -0.9873,\\ x_4 & = -3(2.3272)/8 +(-0.9873)/8+15/8 = 0.8789. \end{align}</math>

Using the approximations obtained, the iterative procedure is repeated until the desired accuracy has been reached. The following are the approximated solutions after four iterations.

<math>x_1</math>	<math>x_2</math>	<math>x_3</math>	<math>x_4</math>
0.6	2.32727	−0.987273	0.878864
1.03018	2.03694	−1.01446	0.984341
1.00659	2.00356	−1.00253	0.998351
1.00086	2.0003	−1.00031	0.99985

The exact solution of the system is Шаблон:Math.

An example using Python and NumPy

The following numerical procedure simply iterates to produce the solution vector.

import numpy as np

ITERATION_LIMIT = 1000

# initialize the matrix
A = np.array(
    [
        [10.0, -1.0, 2.0, 0.0],
        [-1.0, 11.0, -1.0, 3.0],
        [2.0, -1.0, 10.0, -1.0],
        [0.0, 3.0, -1.0, 8.0],
    ]
)
# initialize the RHS vector
b = np.array([6.0, 25.0, -11.0, 15.0])

print("System of equations:")
for i in range(A.shape[0]):
    row = [f"{A[i,j]:3g}*x{j+1}" for j in range(A.shape[1])]
    print("[{0}] = [{1:3g}]".format(" + ".join(row), b[i]))

x = np.zeros_like(b, np.float_)
for it_count in range(1, ITERATION_LIMIT):
    x_new = np.zeros_like(x, dtype=np.float_)
    print(f"Iteration {it_count}: {x}")
    for i in range(A.shape[0]):
        s1 = np.dot(A[i, :i], x_new[:i])
        s2 = np.dot(A[i, i + 1 :], x[i + 1 :])
        x_new[i] = (b[i] - s1 - s2) / A[i, i]
    if np.allclose(x, x_new, rtol=1e-8):
        break
    x = x_new

print(f"Solution: {x}")
error = np.dot(A, x) - b
print(f"Error: {error}")

Produces the output:

System of equations:
[ 10*x1 +  -1*x2 +   2*x3 +   0*x4] = [  6]
[ -1*x1 +  11*x2 +  -1*x3 +   3*x4] = [ 25]
[  2*x1 +  -1*x2 +  10*x3 +  -1*x4] = [-11]
[  0*x1 +   3*x2 +  -1*x3 +   8*x4] = [ 15]
Iteration 1: [ 0.  0.  0.  0.]
Iteration 2: [ 0.6         2.32727273 -0.98727273  0.87886364]
Iteration 3: [ 1.03018182  2.03693802 -1.0144562   0.98434122]
Iteration 4: [ 1.00658504  2.00355502 -1.00252738  0.99835095]
Iteration 5: [ 1.00086098  2.00029825 -1.00030728  0.99984975]
Iteration 6: [ 1.00009128  2.00002134 -1.00003115  0.9999881 ]
Iteration 7: [ 1.00000836  2.00000117 -1.00000275  0.99999922]
Iteration 8: [ 1.00000067  2.00000002 -1.00000021  0.99999996]
Iteration 9: [ 1.00000004  1.99999999 -1.00000001  1.        ]
Iteration 10: [ 1.  2. -1.  1.]
Solution: [ 1.  2. -1.  1.]
Error: [  2.06480930e-08  -1.25551054e-08   3.61417563e-11   0.00000000e+00]

Program to solve arbitrary no. of equations using Matlab

The following code uses the formula <math display="block">x^{(k+1)}_i = \frac{1}{a_{ii}} \left(b_i - \sum_{j<i}a_{ij}x^{(k+1)}_j - \sum_{j>i}a_{ij}x^{(k)}_j \right),\quad \begin{array}{l} i=1,2,\ldots,n \\ k=0,1,2,\ldots \end{array}</math>

function x = gauss_seidel(A, b, x, iters)
    for i = 1:iters
        for j = 1:size(A,1)
            x(j) = (b(j) - sum(A(j,:)'.*x) + A(j,j)*x(j)) / A(j,j);
        end
    end
end

Notes

Шаблон:Reflist

References

Шаблон:CFDWiki

Шаблон:Numerical linear algebra Шаблон:Authority control

[1] Шаблон:Cite book

[2] Шаблон:Harvnb; direct link.

[3] Шаблон:Cite journal

[4] Шаблон:Harvnb.

[5] Шаблон:Harvnb

[6] Шаблон:Harvnb.

[7] Шаблон:Cite journal

[8] Шаблон:Harvnb

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.

Английская Википедия:Gauss–Seidel method

Содержание

Description

Matrix-based formula

Why the matrix-based formula works

Element-based formula

Discussion

Convergence

Algorithm

Examples

An example for the matrix version

Another example for the matrix version

An example for the equation version

An example using Python and NumPy

Program to solve arbitrary no. of equations using Matlab

See also

Notes

References

External links

Навигация

Действия на странице

Действия на странице

Персональные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты