Шаблон:Short description
In the mathematical field of partial differential equations, Harnack's principle or Harnack's theorem is a corollary of Harnack's inequality which deals with the convergence of sequences of harmonic functions.
Given a sequence of harmonic functions Шаблон:Math on an open connected subset Шаблон:Mvar of the Euclidean space Шаблон:Math, which are pointwise monotonically nondecreasing in the sense that
- <math>u_1(x) \le u_2(x) \le \dots</math>
for every point Шаблон:Mvar of Шаблон:Mvar, then the limit
- <math> \lim_{n\to\infty}u_n(x)</math>
automatically exists in the extended real number line for every Шаблон:Mvar. Harnack's theorem says that the limit either is infinite at every point of Шаблон:Mvar or it is finite at every point of Шаблон:Mvar. In the latter case, the convergence is uniform on compact sets and the limit is a harmonic function on Шаблон:Mvar.Шаблон:Sfnm
The theorem is a corollary of Harnack's inequality. If Шаблон:Math is a Cauchy sequence for any particular value of Шаблон:Mvar, then the Harnack inequality applied to the harmonic function Шаблон:Math implies, for an arbitrary compact set Шаблон:Mvar containing Шаблон:Mvar, that Шаблон:Math is arbitrarily small for sufficiently large Шаблон:Mvar and Шаблон:Mvar. This is exactly the definition of uniform convergence on compact sets. In words, the Harnack inequality is a tool which directly propagates the Cauchy property of a sequence of harmonic functions at a single point to the Cauchy property at all points.
Having established uniform convergence on compact sets, the harmonicity of the limit is an immediate corollary of the fact that the mean value property (automatically preserved by uniform convergence) fully characterizes harmonic functions among continuous functions.Шаблон:Sfnm
The proof of uniform convergence on compact sets holds equally well for any linear second-order elliptic partial differential equation, provided that it is linear so that Шаблон:Math solves the same equation. The only difference is that the more general Harnack inequality holding for solutions of second-order elliptic PDE must be used, rather than that only for harmonic functions. Having established uniform convergence on compact sets, the mean value property is not available in this more general setting, and so the proof of convergence to a new solution must instead make use of other tools, such as the Schauder estimates.
References
Шаблон:Reflist
Sources
External links
| Партнерские ресурсы |
|---|
| Криптовалюты |
|
|---|
| Магазины |
|
|---|
| Хостинг |
|
|---|
| Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
|---|
