Английская Википедия:Hexagonal tiling

In geometry, the hexagonal tiling or hexagonal tessellation is a regular tiling of the Euclidean plane, in which exactly three hexagons meet at each vertex. It has Schläfli symbol of Шаблон:Math or Шаблон:Math (as a truncated triangular tiling).

English mathematician John Conway called it a hextille.

The internal angle of the hexagon is 120 degrees, so three hexagons at a point make a full 360 degrees. It is one of three regular tilings of the plane. The other two are the triangular tiling and the square tiling.

Applications

Hexagonal tiling is the densest way to arrange circles in two dimensions. The honeycomb conjecture states that hexagonal tiling is the best way to divide a surface into regions of equal area with the least total perimeter. The optimal three-dimensional structure for making honeycomb (or rather, soap bubbles) was investigated by Lord Kelvin, who believed that the Kelvin structure (or body-centered cubic lattice) is optimal. However, the less regular Weaire–Phelan structure is slightly better.

This structure exists naturally in the form of graphite, where each sheet of graphene resembles chicken wire, with strong covalent carbon bonds. Tubular graphene sheets have been synthesised, known as carbon nanotubes. They have many potential applications, due to their high tensile strength and electrical properties. Silicene is similar.

Chicken wire consists of a hexagonal lattice (often not regular) of wires.

The densest circle packing is arranged like the hexagons in this tiling

The densest circle packing is arranged like the hexagons in this tiling
Chicken wire fencing

Chicken wire fencing
Graphene

Graphene
A carbon nanotube can be seen as a hexagon tiling on a cylindrical surface

A carbon nanotube can be seen as a hexagon tiling on a cylindrical surface
Hexagonal tile with blue bird and flowers

Hexagonal Persian tile c.1955

The hexagonal tiling appears in many crystals. In three dimensions, the face-centered cubic and hexagonal close packing are common crystal structures. They are the densest sphere packings in three dimensions. Structurally, they comprise parallel layers of hexagonal tilings, similar to the structure of graphite. They differ in the way that the layers are staggered from each other, with the face-centered cubic being the more regular of the two. Pure copper, amongst other materials, forms a face-centered cubic lattice.

Uniform colorings

There are three distinct uniform colorings of a hexagonal tiling, all generated from reflective symmetry of Wythoff constructions. The (h,k) represent the periodic repeat of one colored tile, counting hexagonal distances as h first, and k second. The same counting is used in the Goldberg polyhedra, with a notation {p+,3}_h,k, and can be applied to hyperbolic tilings for p > 6.

k-uniform	1-uniform			2-uniform		3-uniform
Symmetry	p6m, (*632)		p3m1, (*333)	p6m, (*632)		p6, (632)
Picture	Файл:Uniform tiling 63-t0.svg	Файл:Uniform tiling 63-t12.svg	Файл:Uniform tiling 333-t012.svg	Файл:Truncated rhombille tiling.png	Файл:Hexagonal tiling 4-colors.svg	Файл:Hexagonal tiling 2-1.svg	Файл:Hexagonal tiling 7-colors.svg
Colors	1	2	3	2	4	2	7
(h,k)	(1,0)	(1,1)		(2,0)		(2,1)
Schläfli	{6,3}	t{3,6}	t{3^[3]}
Wythoff	3 \| 6 2	2 6 \| 3	3 3 3 \|
Coxeter	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD
Conway	H	tΔ		cH=t6daH		wH=t6dsH

The 3-color tiling is a tessellation generated by the order-3 permutohedrons.

Chamfered hexagonal tiling

A chamfered hexagonal tiling replaces edges with new hexagons and transforms into another hexagonal tiling. In the limit, the original faces disappear, and the new hexagons degenerate into rhombi, and it becomes a rhombic tiling.

Файл:ChamferedHexTilingAnimation.gif

The chamfered hexagonal tiling degenerates into a rhombille tiling at the limit

Hexagons (H)	Chamfered hexagons (cH)			Rhombi (daH)
Файл:Uniform tiling 63-t0.svg	Файл:Chamfered hexagonal tiling.png	Файл:Truncated rhombille tiling.png	Файл:Chamfered hexagonal tiling2.png	Файл:Rhombic star tiling.png

Related tilings

The hexagons can be dissected into sets of 6 triangles. This process leads to two 2-uniform tilings, and the triangular tiling:

Regular tiling	Dissection	2-uniform tilings		Regular tiling	Inset	Dual Tilings
Файл:1-uniform n1.svg Original	Файл:Regular hexagon.svgФайл:Vertex type 3-3-3-3-3-3.svg	Файл:2-uniform n10.svg 1/3 dissected	Файл:2-uniform n19.svg 2/3 dissected	Файл:1-uniform n11.svg fully dissected	Файл:Inset Variations of Dual Uniform Tiling.svg	Файл:E to IH to FH to H Insets.gif E to IH to FH to H

The hexagonal tiling can be considered an elongated rhombic tiling, where each vertex of the rhombic tiling is stretched into a new edge. This is similar to the relation of the rhombic dodecahedron and the rhombo-hexagonal dodecahedron tessellations in 3 dimensions.

Файл:Kah 3 6 romb.png Rhombic tiling	Файл:Uniform tiling 63-t0.svg Hexagonal tiling	Файл:Chicken Wire close-up.jpg Fencing uses this relation

It is also possible to subdivide the prototiles of certain hexagonal tilings by two, three, four or nine equal pentagons:

Файл:Pent-Hex-Type1-2.png Pentagonal tiling type 1 with overlays of regular hexagons (each comprising 2 pentagons).	Файл:Pent-Hex-Type3-3.png pentagonal tiling type 3 with overlays of regular hexagons (each comprising 3 pentagons).	Файл:Pent-Hex-Type4-4.png Pentagonal tiling type 4 with overlays of semiregular hexagons (each comprising 4 pentagons).	Файл:Pent-Hex-Type3-9.png Pentagonal tiling type 3 with overlays of two sizes of regular hexagons (comprising 3 and 9 pentagons respectively).

Symmetry mutations

This tiling is topologically related as a part of a sequence of regular tilings with hexagonal faces, starting with the hexagonal tiling, with Schläfli symbol {6,n}, and Coxeter diagram Шаблон:CDD, progressing to infinity. Шаблон:Hexagonal regular tilings

This tiling is topologically related to regular polyhedra with vertex figure n³, as a part of a sequence that continues into the hyperbolic plane. Шаблон:Order-3 tiling table

It is similarly related to the uniform truncated polyhedra with vertex figure n.6.6. Шаблон:Truncated figure2 table

This tiling is also part of a sequence of truncated rhombic polyhedra and tilings with [n,3] Coxeter group symmetry. The cube can be seen as a rhombic hexahedron where the rhombi are squares. The truncated forms have regular n-gons at the truncated vertices, and nonregular hexagonal faces. Шаблон:Dual quasiregular3 table

Wythoff constructions from hexagonal and triangular tilings

Like the uniform polyhedra there are eight uniform tilings that can be based on the regular hexagonal tiling (or the dual triangular tiling).

Drawing the tiles colored red on the original faces, yellow at the original vertices, and blue along the original edges, there are 8 forms, 7 of which are topologically distinct. (The truncated triangular tiling is topologically identical to the hexagonal tiling.)

Шаблон:Hexagonal tiling small table

Monohedral convex hexagonal tilings

There are 3 types of monohedral convex hexagonal tilings.^[1] They are all isohedral. Each has parametric variations within a fixed symmetry. Type 2 contains glide reflections, and is 2-isohedral keeping chiral pairs distinct.

3 types of monohedral convex hexagonal tilings
1	2		3
p2, 2222	pgg, 22×	p2, 2222	p3, 333
Файл:P6-type1.png	Файл:P6-type2.png	Файл:P6-type2-chiral coloring.png	Файл:P6-type3.png
Файл:Prototile p6-type1.png b = e B + C + D = 360°	Файл:Prototile p6-type2.png b = e, d = f B + C + E = 360°		Файл:Prototile p6-type3.png a = f, b = c, d = e B = D = F = 120°
Файл:Lattice p6-type1.png 2-tile lattice	Файл:Lattice p6-type2.png 4-tile lattice		Файл:Lattice p6-type3.png 3-tile lattice

Topologically equivalent tilings

Hexagonal tilings can be made with the identical {6,3} topology as the regular tiling (3 hexagons around every vertex). With isohedral faces, there are 13 variations. Symmetry given assumes all faces are the same color. Colors here represent the lattice positions.^[2] Single-color (1-tile) lattices are parallelogon hexagons.

13 isohedrally-tiled hexagons
pg (××)		p2 (2222)	p3 (333)	pmg (22*)
Файл:Isohedral tiling p6-1.png	Файл:Isohedral tiling p6-2.png	Файл:Isohedral tiling p6-3.png	Файл:Isohedral tiling p6-6.png	Файл:Isohedral tiling p6-9.png	Файл:Isohedral tiling p6-10.png
pgg (22×)			p31m (3*3)	p2 (2222)	cmm (2*22)	p6m (*632)
Файл:Isohedral tiling p6-4.png	Файл:Isohedral tiling p6-5.png	Файл:Isohedral tiling p6-8.png	Файл:Isohedral tiling p6-11.png	Файл:Isohedral tiling p6-7.png	Файл:Isohedral tiling p6-12.png	Файл:Isohedral tiling p6-13.png

Other isohedrally-tiled topological hexagonal tilings are seen as quadrilaterals and pentagons that are not edge-to-edge, but interpreted as colinear adjacent edges:

Isohedrally-tiled quadrilaterals
pmg (22*)		pgg (22×)			cmm (2*22)	p2 (2222)
Файл:Isohedral tiling p4-18.png Parallelogram	Файл:Isohedral tiling p4-20.png Trapezoid	Файл:Isohedral tiling p4-19.png Parallelogram	Файл:Isohedral tiling p4-19b.png Rectangle	Файл:Isohedral tiling p4-17.png Parallelogram	Файл:Isohedral tiling p4-21.png Rectangle	Файл:Isohedral tiling p4-22.png Rectangle

Isohedrally-tiled pentagons
p2 (2222)	pgg (22×)	p3 (333)
Файл:P5-type1.png	Файл:P5-type2.png	Файл:P5-type3.png

The 2-uniform and 3-uniform tessellations have a rotational degree of freedom which distorts 2/3 of the hexagons, including a colinear case that can also be seen as a non-edge-to-edge tiling of hexagons and larger triangles.^[3]

It can also be distorted into a chiral 4-colored tri-directional weaved pattern, distorting some hexagons into parallelograms. The weaved pattern with 2 colored faces has rotational 632 (p6) symmetry. A chevron pattern has pmg (22*) symmetry, which is lowered to p1 (°) with 3 or 4 colored tiles.

Regular	Gyrated	Regular	Weaved	Chevron
p6m, (*632)	p6, (632)	p6m (*632)	p6 (632)	p1 (°)
Файл:Uniform tiling 63-t12.svg	Файл:Gyrated hexagonal tiling2.png	Файл:Truncated rhombille tiling.png	Файл:Weaved hexagonal tiling2.png	Файл:Chevron hexagonal tiling-3-color.png
p3m1, (*333)	p3, (333)	p6m (*632)	p2 (2222)	p1 (°)
Файл:Uniform tiling 333-t012.svg	Файл:Gyrated hexagonal tiling1.png	Файл:Hexagonal tiling 4-colors.png	Файл:Weaved hexagonal tiling.png	Файл:Chevron hexagonal tiling-4-color.png

Circle packing

The hexagonal tiling can be used as a circle packing, placing equal-diameter circles at the center of every point. Every circle is in contact with 3 other circles in the packing (kissing number).^[4] The gap inside each hexagon allows for one circle, creating the densest packing from the triangular tiling, with each circle in contact with a maximum of 6 circles.

Файл:1-uniform-1-circlepack.svg

Related regular complex apeirogons

There are 2 regular complex apeirogons, sharing the vertices of the hexagonal tiling. Regular complex apeirogons have vertices and edges, where edges can contain 2 or more vertices. Regular apeirogons p{q}r are constrained by: 1/p + 2/q + 1/r = 1. Edges have p vertices, and vertex figures are r-gonal.^[5]

The first is made of 2-edges, three around every vertex, the second has hexagonal edges, three around every vertex. A third complex apeirogon, sharing the same vertices, is quasiregular, which alternates 2-edges and 6-edges.

2{12}3 or Шаблон:CDD	6{4}3 or Шаблон:CDD	Шаблон:CDD
Файл:Complex apeirogon 2-12-3.png	Файл:Complex apeirogon 6-4-3.png	Файл:Truncated complex polygon 6-6-2.png

References

Шаблон:Reflist

Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, Шаблон:ISBN p. 296, Table II: Regular honeycombs
Шаблон:Cite book (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings, pp. 58–65)
Шаблон:The Geometrical Foundation of Natural Structure (book)
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008, Шаблон:ISBN [1]

External links

Шаблон:Honeycombs Шаблон:Tessellation

↑ Tilings and patterns, Sec. 9.3 Other Monohedral tilings by convex polygons
↑ Tilings and patterns, from list of 107 isohedral tilings, pp. 473–481
↑ Tilings and patterns, uniform tilings that are not edge-to-edge
↑ Order in Space: A design source book, Keith Critchlow, pp. 74–75, pattern 2
↑ Coxeter, Regular Complex Polytopes, pp. 111–112, p. 136.

[1] Tilings and patterns, Sec. 9.3 Other Monohedral tilings by convex polygons

[2] Tilings and patterns, from list of 107 isohedral tilings, pp. 473–481

[3] Tilings and patterns, uniform tilings that are not edge-to-edge

[Critchlow-4] Order in Space: A design source book, Keith Critchlow, pp. 74–75, pattern 2

[5] Coxeter, Regular Complex Polytopes, pp. 111–112, p. 136.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.

Английская Википедия:Hexagonal tiling

Содержание