In mathematics, especially functional analysis, a hypercyclic operator on a topological vector space X is a continuous linear operator T: X → X such that there is a vector x ∈ X for which the sequence {Tn x: n = 0, 1, 2, …} is dense in the whole space X. In other words, the smallest closed invariant subset containing x is the whole space. Such an x is then called hypercyclic vector.
There is no hypercyclic operator in finite-dimensional spaces, but the property of hypercyclicity in spaces of infinite dimension is not a rare phenomenon: many operators are hypercyclic.
The hypercyclicity is a special case of broader notions of topological transitivity (see topological mixing), and universality. Universality in general involves a set of mappings from one topological space to another (instead of a sequence of powers of a single operator mapping from X to X), but has a similar meaning to hypercyclicity. Examples of universal objects were discovered already in 1914 by Julius Pál, in 1935 by Józef Marcinkiewicz, or MacLane in 1952. However, it was not until the 1980s when hypercyclic operators started to be more intensively studied.
Examples
An example of a hypercyclic operator is two times the backward shift operator on the ℓ2 sequence space, that is the operator, which takes a sequence
- (a1, a2, a3, …) ∈ ℓ2
to a sequence
- (2a2, 2a3, 2a4, …) ∈ ℓ2.
This was proved in 1969 by Rolewicz.
Known results
- On every infinite-dimensional separable Fréchet space there is a hypercyclic operator. On the other hand, there is no hypercyclic operator on a finite-dimensional space, nor on a non-separable space.
- If x is a hypercyclic vector, then Tnx is hypercyclic as well, so there is always a dense set of hypercyclic vectors.
- Moreover, the set of hypercyclic vectors is a connected Gδ set when X is a metrizable space, and always contains a dense vector space, up to {0}.
- Шаблон:Harvs constructed an operator on ℓ1, such that all the non-zero vectors are hypercyclic, providing a counterexample to the invariant subspace problem (and even invariant subset problem) in the class of Banach spaces. The problem, whether such an operator (sometimes called hypertransitive, or orbit transitive) exists on a separable Hilbert space, is still open (as of 2022).
References
See also
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|