Шаблон:Calculus
Шаблон:Multiple issues
In mathematical analysis, initialization of the differintegrals is a topic in fractional calculus.
Composition rule of differintegral
A certain counterintuitive property of the differintegral operator should be pointed out, namely the composition law. Although
- <math>\mathbb{D}^q\mathbb{D}^{-q} = \mathbb{I}</math>
wherein D−q is the left inverse of Dq, the converse is not necessarily true:
- <math>\mathbb{D}^{-q}\mathbb{D}^q \neq \mathbb{I}</math>
Example
It is instructive to consider elementary integer-order calculus to see what's happening. First, integrate then differentiate, using the example function 3x2 + 1:
- <math>\frac{d}{dx}\left[\int (3x^2+1)dx\right] = \frac{d}{dx}[x^3+x+c] = 3x^2+1\,,</math>
on exchanging the order of composition:
- <math>\int \left[\frac{d}{dx}(3x^2+1)\right] = \int 6x \,dx = 3x^2+c\,,</math>
in which the constant of integration is c. Even if it wasn't obvious, the initialization terms ƒ'(0) = c, ƒ''(0) = d, etc. could be used. If we neglected those initialization terms, the last equation would show the composition of integration then differentiation (and vice versa) would not hold.
Description of initialization
If the differintegral is initialized properly, then the hoped-for composition law holds. The problem is that in differentiation, we lose information, as we lost the c in the first equation.
In fractional calculus, however, since the operator has been fractionalized and is thus continuous, an entire complementary function is needed, not just a constant or set of constants. We call this complementary function <math>\Psi</math>.
- <math>\mathbb{D}^q_t f(t) = \frac{1}{\Gamma(n-q)}\frac{d^n}{dt^n}\int_0^t (t-\tau)^{n-q-1}f(\tau)\,d\tau + \Psi(x)</math>
Working with a properly initialized differintegral is the subject of initialized fractional calculus.
See also
References
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|