Русская Википедия:Ёмкость Минковского

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Ёмкость Минковского — основное понятие в геометрической теории меры, обобщающее на произвольные измеримые множества понятия длины кривой на плоскости и площади поверхности в пространстве.

Ёмкость обычно применяется для фрактальных границ областей в евклидовом пространстве, но имеет смысл в контексте общих метрических пространств с мерой.

Названа в честь Германа Минковского.

Определение

Пусть <math>(X,\mu, d)</math> метрическое пространство с мерой, где <math>d</math> является метрикой на <math>X</math>, а <math>\mu</math> — это борелевская мера. Для подмножества <math>A</math> в <math>X</math> и вещественного ε > 0, обозначим через

<math>A_\varepsilon = \{ x \in X \, | \, d(x, A) < \varepsilon \}</math>

его замкнутую <math>\varepsilon</math>-окрестность. Нижняя ёмкость Минковского коразмерности <math>k</math> определяется как нижний предел

<math>M_*(A) = \liminf_{\varepsilon \to 0} \frac{\mu(A_\varepsilon) - \mu(A)}{\varepsilon^k},</math>

и верхняя ёмкость Минковского коразмерности <math>k</math> как верхий предел

<math>M^*(A) = \limsup_{\varepsilon \to 0} \frac{\mu(A_\varepsilon) - \mu(A)}{\varepsilon^k}.</math>

Если <math>M^*(A)=M_*(A)</math>, то их общее значение называется ёмкостью Минковского коразмерности <math>k</math> A по мере μ, и обозначается <math>M(A)</math>.

Свойства

• Если <math>A</math> есть замкнутое <math>n</math>-спрямляемое множество в <math>\R^{n+k}</math>, то ёмкость Минковского <math>A</math> по отношению к объёму на <math>\R^{n+k}</math> существует и совпадает с его <math>n</math>-мерной мерой Хаусдорфа с точностью до нормализации.

См. также

• Размерность Минковского

Ссылки

• Шаблон:Citation.