Русская Википедия:АТС-теорема

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Стиль АТС теорема — теорема об аппроксимации тригонометрической суммы более короткой.

В некоторых областях математики и математической физики исследуются суммы вида

<math>

S = \sum_{a< k\le b} \varphi(k)e^{2\pi i f(k)} . </math>

Здесь <math>\varphi(x)</math> и <math>f(x)</math> — вещественные функции вещественного аргумента, <math>i^2= -1. </math>

Такие суммы появляются, например, в теории чисел при анализе дзета-функции Римана, при решении задач, связанных с распределением целых точек в различных областях на плоскости и в пространстве, при изучении рядов Фурье, при решении таких дифференциальных уравнений, как волновое уравнение, уравнение теплопроводности и т. д.

Вводные замечания

Назовём длиной суммы <math>S</math> число <math>b-a</math> (для целых <math>a</math> и <math>b</math> это просто число слагаемых в <math>S</math>).

Будем использовать следующие обозначения:

  • При <math>B > 0, B \to +\infty</math> или <math>B \to 0</math> запись <math>1 \ll \frac{A}{B} \ll 1</math> означает, что существуют константы <math>C_1 > 0</math> и <math>C_2 > 0,</math>, такие что
    <math>C_1 \leq\frac{|A|}{B} \leq C_2 .</math>
  • Для вещественного <math>\alpha</math> запись <math>\|\alpha\|</math> значит, что
    <math>\|\alpha\| = \min(\{\alpha\},1- \{\alpha\}),</math>
    где <math>\{\alpha\}</math> — дробная часть <math>\alpha.</math>

Сформулируем основную теорему о замене тригонометрической (иногда её называют также экспоненциальной) суммы более короткой.

Теорема АТС

Пусть вещественные функции <math>f(x)</math> и <math>\varphi(x)</math> удовлетворяют на отрезке <math>[a,b]</math> следующим условиям:

  1. <math>f(x)</math> и <math>\varphi(x)</math> являются непрерывными;
  2. существуют числа <math>H</math>, <math>U</math> и <math>V</math> такие, что
    <math>H > 0,~~ 1 \ll U \ll V,~~ 0 < b-a \leq V ,</math>
    <math>

\begin{array}{rc} \frac{1}{U} \ll f(x) \ll \frac{1}{U} \ ,& \varphi(x) \ll H ,\\

f(x) \ll \frac{1}{UV} \ ,& \varphi'(x) \ll \frac{H}{V} ,\\

f''(x) \ll \frac{1}{UV^2} \ ,& \varphi(x) \ll \frac{H}{V^2} . \\ \end{array} </math>

Тогда, определяя числа <math>x_{\mu}</math> из уравнения

<math> f'(x_{\mu}) = \mu,</math>

имеем

<math>

\sum_{a< \mu\le b} \varphi(\mu)e^{2\pi i f(\mu)} = \sum_{f'(a)\le\mu\le f'(b)}C(\mu)Z(\mu) + R , </math>

где

<math>

R = O \left(\frac{HU}{b-a} + HT_a + HT_b + H\log\left(f'(b)-f'(a)+2\right)\right); </math>

<math>

T_{j} = \left\{ \begin{array}{rc} 0 \ ,& \ {\textit if} \ \ f'(j) \ {\textit is \ an \ integer}  ;\\ \min\left(\frac{1}{\|f'(j)\|} , \sqrt{U}\right) \ ,& \ {\textit if} \ \ \|f'(j)\| \ne 0; \\ \end{array} \right. </math>

<math>j = a,b;</math>
<math>

C(\mu) = \left\{ \begin{array}{rc} 1 \ \ ,& \ \ {\textit if} \ \ f'(a) < \mu < f'(b) ;\\ \frac{1}{2} \ \ ,& \ \ {\textit if} \ \ \mu = f'(a) \ \ {\textit or} \ \ \mu = f'(b) ;\\ \end{array} \right. </math>

<math>

Z(\mu) = \frac{1+i}{\sqrt 2}\frac{\varphi(x_{\mu})}{\sqrt{f(x_{\mu})}} e^{2\pi i(f(x_{\mu})- \mu x_{\mu})} \ . </math>

Лемма Ван дер Корпута

Самым простым вариантом сформулированной теоремы является утверждение, называемое в литературе леммой Ван дер Корпута.

Пусть <math>f(x)</math> — вещественная дифференцируемая функция на интервале <math>a< x \le b </math>, кроме того, внутри этого интервала её производная <math>f'(x)</math> является монотонной и знакопостоянной функцией, и при <math>\delta = const</math>, <math>0 < \delta < 1</math> удовлетворяет неравенству

<math>|f'(x)| \leq \delta .</math>

Тогда

<math>

\sum_{a<k\le b} e^{2\pi i f(k)} = \int_a^be^{2\pi i f(x)}dx + \theta\left(3 + \frac{2\delta}{1-\delta}\right), </math>

где <math>|\theta| \le 1.</math>

Если параметры <math>a</math> и <math>b</math> являются целыми числами, то последнее выражение можно заменить таким:

<math>

\sum_{a<k\le b} e^{2\pi i f(k)} = \int_a^be^{2\pi i f(x)}dx + \frac12e^{2\pi i f(b)} - \frac12e^{2\pi i f(a)} + \theta\frac{2\delta}{1-\delta}, </math>

где <math>|\theta| \le 1</math>.

Применение

О применениях АТС в задачах физики см.[1],[2], см. также[3],[4].

История

Проблема приближения тригонометрического ряда какой-либо подходящей функцией рассматривалась ещё Эйлером и Пуассоном.

При определённых условиях на <math>\varphi(x)</math> и <math>f(x)</math> сумму <math>S</math> можно заменить с хорошей точностью другой суммой <math>S_1,</math>

<math>

S_1 = \sum_{\alpha<k\le \beta} \Phi(k)e^{2\pi i F(k)} , </math>

длина которой <math>\beta-\alpha</math> много меньше, чем <math>b-a.</math> Первые соотношения вида

<math>S = S_1 + R \ ,</math>

где <math>R</math> — остаточный член, с конкретными функциями <math>\varphi(x)</math> и <math>f(x),</math> были получены Г. Харди, Дж. Литтлвудом[5][6][7] и И. Виноградовым[8] при выводе функционального уравнения для дзета-функции Римана <math>\zeta(s)</math>, при рассмотрении количеств целых точек в областях на плоскости. В общем виде теорема была доказана Дж. Ван дер Корпутом[9][10] (о недавних результатах, связанных с теоремой Ван дер Корпута можно прочитать в[11]).

В каждой из вышеупомянутых работ на функции <math>\varphi(x)</math> и <math>f(x)</math> накладывались некоторые ограничения. С ограничениями, удобными для приложений, теорема была доказана А. А. Карацубой в[12] (см. также[13][14]).

Примечания

Шаблон:Примечания

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ E. A. Karatsuba Approximation of sums of oscillating summands in certain physical problems, — JMP 45:11, pp. 4310—4321 (2004).
  2. ↑ E. A. Karatsuba On an approach to the study of the Jaynes-Cummings sum in quantum optics, — Numerical Algorithms, Vol. 45, No.1-4 , pp. 127—137 (2007).
  3. ↑ E. Chassande-Mottin, A. Pai Best chirplet chain: near-optimal detection of gravitational wave chirps, — Phys. Rev. D 73:4, 042003, pp. 1—23 (2006).
  4. ↑ M. Fleischhauer, W. P. Schleich Revivals made simple: Poisson summation formula as a key to the revivals in the Jaynes-Cummings model, — Phys. Rev. A 47:3, pp. 4258—4269 (1993).
  5. ↑ G. H. Hardy and J. E. Littlewood The trigonometrical series associated with the elliptic θ-functions, — Acta Math. 37, pp. 193—239 (1914).
  6. ↑ G. H. Hardy and J. E. Littlewood Contributions to the theory of Riemann Zeta-Function and the theory of the distribution of primes, — Acta Math. 41, pp. 119—196 (1918).
  7. ↑ G. H. Hardy and J. E. Littlewood The zeros of Riemann’s zeta-function on the critical line, — Math. Z., 10, pp. 283—317 (1921).
  8. ↑ И. М. Виноградов О среднем значении числа классов чисто коренных форм отрицательного определителя, — Сообщ. Харьк. Матем. О-ва, т. 16, № 1/2 , с.10—38 (1918).
  9. ↑ J. G. Van der Corput Zahlentheoretische Abschätzungen, — Math. Ann. 84, pp. 53—79 (1921).
  10. ↑ J. G. Van der Corput Verschärfung der abschätzung beim teilerproblem, — Math. Ann., 87, pp. 39—65 (1922).
  11. ↑ H. L. Montgomery Ten Lectures on the Interface Between Analytic Number Theory and Harmonic Analysis, — Am. Math. Soc., 1994.
  12. ↑ A. A. Karatsuba Approximation of exponential sums by shorter ones, — Proc. Indian. Acad. Sci. (Math. Sci.) 97: 1—3, pp. 167—178 (1987).
  13. ↑ С. М. Воронин, А. А. Карацуба Дзета-функция Римана, — Шаблон:М: Физматлит, 1994.
  14. ↑ А. А. Карацуба, М. А. Королёв Теорема о приближении тригонометрической суммы более короткой, — Известия РАН. Серия математики, т. 71, № 2, с. 123—150 (2007).
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:АТС-теорема&oldid=8877596