Русская Википедия:Абелева категория
Абелева категория — категория, в которой морфизмы можно складывать, а ядра и коядра существуют и обладают определёнными удобными свойствами. Пример, который стал прототипом абелевой категории — категория абелевых групп. Теория абелевых категорий была разработана Александром Гротендиком для объединения нескольких теорий когомологий. Класс абелевых категорий замкнут относительно нескольких категорных конструкций; например, категория цепных комплексов с элементами из абелевой категории и категория функторов из малой категории в абелеву также являются абелевыми.
Определение
Предаддитивная категория является абелевой, если:
- в ней существует нулевой объект,
- существуют все бинарные произведения и копроизведения,
- существуют все ядра и коядра,
- все мономорфизмы и эпиморфизмы нормальны.
Это определение эквивалентноШаблон:Sfn следующему определению «по частям»: предаддитивная категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и все мономорфизмы и эпиморфизмы нормальны.
Важно, что наличие структуры абелевых групп на множествах морфизмов является следствием четырёх свойств из первого определения. Это подчёркивает фундаментальную роль категории абелевых групп в данной теории.
Примеры
- Категория абелевых групп является абелевой. Категория конечнопорождённых абелевых групп также абелева, как и категория конечных абелевых групп.
- Если <math>R</math> — кольцо, то категория левых (или правых) модулей над <math>R</math> абелева. Согласно теореме Фрейда — Митчелла о вложении, любая абелева категория эквивалентна полной подкатегории категории модулей.
- Если <math>R</math> — кольцо, нётеровое слева, то категория конечнопорождённых левых <math>R</math>-модулей является абелевой. В частности, категория конечнопорождённых модулей над нётеровым коммутативным кольцом абелева.
- Если <math>X</math> — топологическое пространство, то категория пучков абелевых групп на <math>X</math> абелева.
Аксиомы Гротендика
В статье Sur quelques points d’algèbre homologiqueШаблон:Sfn Гротендик предложил несколько дополнительных аксиом, которые могут выполняться в абелевой категории <math>\mathcal{A}</math>.
- AB3) Для любого множества объектов <math>(A_i)_{i\in I}</math> категории <math>\mathcal{A}</math> существует копроизведение <math>\oplus A_i</math>. Данная аксиома эквивалентна кополноте абелевой категории <math>\mathcal{A}</math>Шаблон:Sfn.
- AB4) <math>\mathcal{A}</math> удовлетворяет аксиоме AB3) и копроизведение любого семейства мономорфизмов является мономорфизмом (то есть копроизведение является точным функтором).
- AB5) <math>\mathcal{A}</math> удовлетворяет аксиоме AB3) и Шаблон:Нп5 точных последовательностей точны. Эквивалентно, для любой решётки <math>(A_i)_{i\in I}</math> подобъектов объекта <math>A</math> и любого <math>B</math> — подобъекта объекта <math>A</math> верно, что <math>\sum(A_i\cap B)=\sum(A_i) \cap B.</math>
Аксиомы AB3*), AB4*) и AB5*) получаются из приведённых выше аксиом как двойственные им (то есть заменой копределов на пределы). Аксиомы AB1) и AB2) - стандартные аксиомы, которые выполняются в любой абелевой категории (более точно, абелева категория определяется как аддитивная категория, удовлетворяющая этим аксиомам):
- AB1) У любого морфизма существует ядро и коядро.
- AB2) Для любого морфизма <math>f:A\to B</math> канонический морфизм из <math>\mathrm{coim} f</math> в <math>\mathrm{im} f</math> является изоморфизмом. (Здесь <math>\mathrm{coim} f=A/\mathrm{ker} f</math>).
Гротендик также формулирует более сильные аксиомы AB6) и AB6*), однако не использует их в этой работе.
История
Понятие абелевой категории было предложено Шаблон:Нп5 в 1955 году (он использовал название «точная категория») и Гротендиком в 1957 году. В то время существовала теория когомологий пучков на алгебраических многообразиях и теория когомологий групп. Эти теории определялись различно, но имели сходные свойства. Гротендику удалось объединить эти теории; обе они могут быть определены при помощи производных функторов на абелевой категории пучков и абелевой категории модулей соответственно.
Примечания
Литература
