Русская Википедия:Абелианизация
Абелианиза́ция — способ превратить произвольную группу в абелеву. Является полезным инструментом в теории групп, который находит применение в алгебраической топологии.
C помощью абелианизации возможно описать аддитивные инварианты группы, то есть гомоморфизмы из данной группы в некоторую абелеву. Также она зачастую позволяет свести задачу проверки неизоморфности групп, заданных образующими и соотношениями, к более простой аналогичной задаче для абелевых, особенно в случае конечно-порождённых.
Введение
Превращение группы в коммутативную подразумевает отождествление элементов <math>xy</math> и <math>yx</math> для всех <math>x,y\in G</math>. В частности, такая процедура приравняет каждый коммутатор <math>[x,y]:=xyx^{-1}y^{-1}</math> к нейтральному элементу группы.
Верно и обратное: если каждый коммутатор эквивалентен единице группы, из формулы <math>xy=[x,y]yx</math> следует, что любые два её элемента коммутируют. Таким образом, отождествления каждого коммутатора с единицей необходимо и достаточно для превращения произвольной группы в коммутативную. На языке теории групп оно называется факторизацией по коммутанту — подгруппе, порождённой всеми коммутаторами.
Абелианизацией группы <math>G</math> называется её факторгруппа по коммутанту:
- <math>G^{ab} := G/[G,G]</math>.
Также для абелианизации используются обозначения <math>G_{ab}</math> и <math>{\rm Ab}(G)</math>.
Связанные определения
Естественная проекция <math>G\to G^{ab}</math> называется гомоморфизмом абелианизации и обозначается символом <math>{\rm ab}</math>. Её ядро совпадает с коммутантом группы <math>G</math>.
Группа называется каиновой, если её абелианизация тривиальна.
Свойства
Абелианизация любой группы является абелевой группой. Любая абелева группа изоморфна своей абелианизации.
Абелианизация группы является её наибольшим абелевым фактором в том смысле, что факторгруппа по некоторой нормальной подгруппе абелева тогда и только тогда, когда эта подгруппа содержит коммутант группы.
Сопоставление <math>G \to G^{ab}</math> продолжается до функтора из категории групп в категорию абелевых групп. А именно, каждому гомоморфизму <math>f \colon G \to H</math> сопоставляется гомоморфизм <math>f^{ab} \colon G^{ab} \to H^{ab}</math>, определяющийся формулой <math>f^{ab}([x]) := [f(x)]</math>, где <math>[a]</math> обозначает смежный класс элемента <math>a</math>.
Абелианизация группы, имеющей задание образующими и соотношениями <math>G \cong \langle S \mid R\rangle</math>, допускает задание
- <math>G^{ab} \cong \langle S \mid R \cup \{[s,t]: s,t \in S\}\rangle</math>.
Универсальное свойство
Абелианизация и гомоморфизм абелианизации удовлетворяют следующему так называемому универсальному свойству. Для любого гомоморфизма <math>f \colon G\to A</math> в любую абелеву группу <math>A</math> существует такой единственный гомоморфизм <math>F \colon G^{ab}\to A</math>, что <math>f=F\circ {\rm ab}</math>. Универсальность состоит в том, что, как легко проверяется, любая другая группа, удовлетворяющая данному свойству, изоморфна группе <math>G^{ab}</math>.
Данное свойство позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между всеми гомоморфизмами из группы <math>G</math> в некоторую абелеву группу <math>A</math> и всеми гомоморфизмами из абелианизации <math>G^{ab}</math> в <math>A</math>. При таком соответствии каждому гомоморфизму <math>g \colon G^{ab}\to A</math> сопоставляется композиция <math>g \circ {\rm ab} \colon G \to A</math>. Условие биективности данного соответствия эквивалентно универсальному свойству абелианизации.
Указанное соответствие осуществляет изоморфизм групп гомоморфизмов:
- <math>\mathrm{Hom}(G,A) \cong \mathrm{Hom}(G^{ab},A)</math>.
С точки зрения теории категорий данный изоморфизм означает, что функтор абелианизации является левым сопряжённым к забывающему функтору из категории абелевых групп в категорию всех групп.
Гомологии
Абелианизация является полезным инструментом в алгебраической топологии. Так, абелианизация фундаментальной группы любого линейно связного топологического пространства изоморфна его первой группе гомологий с целыми коэффициентамиШаблон:Sfn:
- <math>\pi_1(X)^{ab} \cong H_1 (X, \mathbb{Z})</math>.
В частности, данный изоморфизм применим при вычислении гомологий групп. А именно, первая группа гомологий с целыми коэффициентами группы <math>G</math> изоморфна её абелианизации: <math>H_1 (G, \mathbb{Z})\cong G^{ab}</math>.
Данные соотношения являются основой для аналогии, гласящей, что теория гомологий является абелианизацией теории гомотопий. Точный смысл данному утверждению можно придать с помощью теоремы Гуревича и Шаблон:Нп5.
Примеры
Абелианизация свободной группы <math>F_n</math> ранга <math>n</math> изоморфна свободной абелевой группе <math>\Z^n</math> того же ранга. Гомоморфизм абелианизации <math>F_n \to \Z^n</math> сопоставляет каждому элементу упорядоченный набор из его экспоненциальных сумм по базисным образующим, то есть набор сумм степеней соответствующих символов в его записи. Таким образом, коммутант свободной группы состоит из тех элементов, у которых экспоненциальная сумма по каждой образующей равна нулю.
Абелианизация полной линейной группы <math>{\rm GL}_n(\R)</math> изоморфна мультипликативной группе <math>\R^\ast</math> поля <math>\R</math> вещественных чисел. Гомоморфизм абелианизации <math>{\rm GL}_n(\R)\to \R^\ast</math> совпадает с определителем. В частности, коммутант группы <math>{\rm GL}_n(\R)</math> совпадает со специальной линейной группой <math>{\rm SL}_n(\R)</math>. Аналогичное верно для полных линейных групп над произвольным полем, за исключением случая <math>{\rm GL}_2(\Z/ 2\Z)</math>Шаблон:Sfn.
Абелианизация группы кос <math>B_n</math> изоморфна бесконечной циклической группе <math>\mathbb{Z}</math>. Гомоморфизм абелианизации <math> B_n \to \mathbb{Z}</math> сопоставляет косе её экспоненциальную сумму. В частности, коммутант группы кос состоит из тех кос, у которых экспоненциальная сумма равна нулю.
Примечания
Литература
