Русская Википедия:Абсолютная величина
Абсолю́тная величина́ или мо́дуль числа <math>x</math> (в математике) — неотрицательное число, которое, неформально говоря, обозначает расстояние между началом координат и <math>x</math>. Обозначается: <math>|x|.</math>
В случае вещественного <math>x</math> абсолютная величина есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:
- <math>|x| = \begin{cases} x, & x > 0, \\ 0, & x=0, \\ -x, & \ x < 0.\end{cases} </math>
Обобщением этого понятия является модуль, или абсолютная величина[1], комплексного числа <math>z=x+iy.</math> Это число определяется по формуле:
- <math>|z|=|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}.</math>
Основные свойства
С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина <math>|x_1 - x_2|</math> означает расстояние между точками <math>x_1</math> и <math>x_2</math> и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой — например, в определении предела по Коши или медианы[2].
Вещественные числа
- Область определения: <math>(- \infty ; + \infty ).</math>
- Область значений: <math>[0; + \infty ).</math>
- Функция чётная.
- Функция дифференцируема всюду, кроме нуля. В точке <math>x = 0</math> функция претерпевает излом.
Комплексные числа
- Область определения: вся комплексная плоскость.
- Область значений: <math>[0; + \infty ).</math>
- Модуль как комплексная функция не дифференцируема ни в одной точке, поскольку условия Коши-Римана не выполнены.
Алгебраические свойства
Для любых вещественных чисел <math>a, b </math> имеют место следующие соотношения:
- <math>\ |x| = \sqrt {x^2} = x \cdot \sgn x = {\rm max}\,\{x,\,-x \} </math> (sgn — функция знака);
- <math> a \leqslant |a|; </math>
- <math>-|a| \leqslant a; </math>
- квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: <math>|a|^2 = a^2.</math>
Как для вещественных, так и для комплексных <math>a, b </math> имеют место соотношения:
- модуль любого числа равен либо больше нуля: <math>|a| \geqslant 0</math>, причём <math>|a|=0</math> тогда и только тогда, когда <math>a=0;</math>
- модули противоположных чисел равны: <math>|{-a}| = |a|;</math>
- модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей: <math>|ab| = |a||b|;</math>
- в частности, постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля: <math>|ab| = a|b|,\quad a>0;</math>
- модуль частного от деления двух чисел равен частному от деления модулей этих двух чисел: <math>\left| \frac {a} {b} \right| = \frac {|a|} {|b|};</math>
- <math>|a+b| \leqslant |a|+|b|</math> (неравенство треугольника);
- <math>|a-b| \leqslant |a|+|b|;</math>
- <math>|a|-|b| \leqslant |a+b|; </math>
- <math>|a \pm b| \geqslant \big||a|-|b|\big|; </math>
- <math>|a^k| = |a|^k,</math> если <math>a^k</math> существует.
История
Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века.
В языках программирования
Поскольку эта функция вычисляется достаточно просто (а именно с помощью сравнений и присваиваний), то обычно она входит в стандартный список функций во все языки программирования. Например, в Pascal есть функция abs(x), а в C fabs(x) для вещественного типа. В программе Wolfram Mathematica: Abs[x].
Обобщение
Понятие абсолютной величины можно ввести в произвольном упорядоченном кольце или упорядоченном поле, и свойства её будут аналогичны приведённым выше.
Обобщением понятия модуля можно считать норму элемента многомерного векторного пространства, обозначаемую <math>\|x\|</math>. Норма вектора в евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может определяться различными способами, однако в случае одномерного пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его единственной координаты.
См. также
- Модуль комплексного числа
- Модуль вектора
- Норма вектора
- Нормирование
- Нормированное векторное пространство
Примечания
