Русская Википедия:Абсолютная геометрия
Абсолютная геометрия (или нейтральная геометрия) — часть классической геометрии, независимая от пятого постулата евклидовой аксиоматики (то есть в абсолютной геометрии пятый постулат может выполняться, а может и не выполняться). Абсолютная геометрия содержит предложения, общие для евклидовой геометрии и для геометрии Лобачевского[1]Шаблон:Sfn.
Термин был предложен Яношем Бойяи в 1832 году[2]. Правда, сам Бойяи вкладывал в него несколько иной смысл: он называл абсолютной геометрией специально разработанную им символику, которая позволяла объединять одной формулой теоремы как евклидовой геометрии, так и геометрии Лобачевского[3].
Примеры теорем абсолютной геометрии
Первые 28 теорем «Начал» Евклида относятся к абсолютной геометрии. Приведём ещё несколько примеров таких теоремШаблон:Sfn:
- У равнобедренного треугольника углы при основании равны.
- Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего, не смежного с ним.
- Во всяком треугольнике по крайней мере два угла острые.
- При пересечении двух прямых вертикальные углы равны.
- Большей из двух сторон треугольника противостоит и больший угол, и наоборот, большему углу противостоит бо́льшая сторона.
- Перпендикуляр (из точки на прямую) короче наклонной.
- Каждая сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух других его сторон.
- Сумма углов треугольника не превосходит 180°.
Теоремы, не входящие в абсолютную геометрию
Современная аксиоматика евклидовой геометрии (например, аксиоматика Гильберта) полна, то есть любое корректное утверждение в этой теории может быть доказано или опровергнуто. Абсолютная геометрия неполна: поскольку пятый постулат определяет метрические свойства однородного пространства, отсутствие его в абсолютной геометрии означает, что метрика пространства не определена, и большинство теорем, связанных с измерениями (например, теорема Пифагора или теорема о сумме углов треугольника) не могут быть доказаны в абсолютной геометрииШаблон:Sfn.
Другие примеры теорем, не входящих в абсолютную геометрию:
- Признаки подобия треугольниковШаблон:Sfn.
- Многочисленные эквиваленты V постулата[4]
Вариации и обобщения
В абсолютной геометрии параллельные прямые всегда существуют (см. теоремы 27 и 28 «Начал» Евклида, доказанные без опоры на пятый постулат), поэтому сферическая геометрия, в которой нет параллельных, несовместима с абсолютной геометрией. Однако можно построить аксиоматику, объединяющую все три типа неевклидовых геометрий (евклидову, сферическую и геометрию Лобачевского)[5], и тогда абсолютную геометрию можно определить как их общую часть. Это новое определение более широкое, чем прежнее — например, теорема «сумма углов треугольника не превосходит 180°» перестаёт быть верной.
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Переиздание: 2004, издательство «Физматлит», ISBN 5-9221-0267-2.
Ссылки
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Больаи Я. Аппендикс Шаблон:Wayback // Об основаниях геометрии (сб. статей), М., ГИТТЛ, 1956. Серия «Классики естествознания».
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ См, например: Gunter Ewald. Geometry: an introduction. Wadsworth Publishing. 1st. 1971, 399 pages. ISBN 0534000347.
- ↑ Шаблон:Cite web
