Русская Википедия:Абсолютная группа Галуа
Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
Абсолютная группа Галуа <math>G_K</math> поля <math>K</math> — группа Галуа <math>K^{sep}</math> над <math>K</math>, где <math>K^{sep}</math> — сепарабельное замыкание <math>K</math>. Также определяется как группа всех автоморфизмов алгебраического замыкания поля <math>K</math>, которые оставляют <math>K</math> неподвижным. Абсолютная группа Галуа уникальна с точностью до изоморфизма. Является проконечной группой.
(Если <math>K</math> — совершенное поле, <math>K^{sep}</math> совпадает с алгебраическим замыканием <math>K^{alg}</math> поля <math>K</math>. Например, это верно для полей характеристики 0 и конечных полей.)
Примеры
- Абсолютная группа Галуа алгебраически замкнутого поля тривиальна.
- Абсолютная группа Галуа действительных чисел — циклическая группа, состоящая из двух элементов (комплексного сопряжения и тождественного отображения), так как <math>\mathbb{C}</math> — сепарабельное замыкание <math>\mathbb{R}</math> и <math>[\mathbb{C}:\mathbb{R}] = 2</math>.
- Абсолютная группа Галуа конечного поля <math>K</math> изоморфна группе <math> \hat{\mathbb{Z}} = \varprojlim \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.</math> Здесь <math>\varprojlim</math> — проективный предел.
- Автоморфизм Фробениуса <math>Fr</math> — канонический (топологический) генератор <math>G_K</math> (<math>Fr(x) = x^q</math>, где <math>q</math> — число элементов в <math>K</math>).
- Абсолютная группа Галуа поля рациональных функций с комплексными коэффициентами является свободной проконечной группой[1].
- В более общем случае, пусть <math>C</math> — алгебраически замкнутое поле и <math>x</math> — переменная. Тогда абсолютная группа Галуа поля <math>K = C(x)</math> — свободная группа ранга равного мощности <math>C</math>[2][3][4].
- Пусть <math>K</math> — конечное расширение p-адических чисел <math>Q_p</math>. Для <math>p \neq 2</math>, его абсолютная группа Галуа порождается <math>[K:Q_p]+3</math> элементами и имеет явное описание в терминах образующих и соотношений.
- Абсолютная группа Галуа определена для наибольшего чисто вещественного подполя поля алгебраических чисел.
Открытые проблемы
- Неизвестно явное описание абсолютной группы Галуа рациональных чисел. В этом случае из теоремы Белого следует, что абсолютная группа Галуа имеет эффективное действие на Шаблон:Нп5 Гротендика, что позволяет представить в наглядном виде теорию Галуа полей алгебраических чисел.
- Гипотеза Шафаревича утверждает, что абсолютная группа Галуа максимального абелева расширения рациональных чисел — свободная проконечная группа.
Примечания
