Русская Википедия:Абсолютная сходимость
Шаблон:Значения Сходящийся ряд <math>\sum a_n</math> называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей <math>\sum |a_n|</math>, иначе — сходящимся условно.
Аналогично, если несобственный интеграл <math>\int f(x)\,dx</math> от функции сходится, то он называется сходящимся абсолютно или условно в зависимости от того, сходится или нет интеграл от её модуля <math>\int |f(x)|\,dx</math>.
В случае общего нормированного пространства модуль в определении заменяется на норму.
Ряды
Признаки абсолютной сходимости
Признак сравнения
Если <math>\exist N_0: |a_n| \leqslant b_n</math> при <math>n \geqslant N_0</math>, то:
- если ряд <math>\sum b_n</math> сходится, то ряд <math>\sum a_n</math> сходится абсолютно
- если ряд <math>\sum a_n</math> расходится, то ряд <math>\sum b_n</math> расходится
- Согласно критерию Коши, <math>\forall \varepsilon > 0\ \exist N \geqslant N_0\ \forall m \geqslant n \geqslant N:\left|\sum_{k=n}^{m}b_k\right| \leqslant \varepsilon</math>. Значит, <math>\left|\sum_{k=n}^{m}a_k\right| \leqslant \sum_{k=n}^{m}|a_k| \leqslant \sum_{k=n}^{m}b_k \leqslant \left|\sum_{k=n}^{m}b_k\right| \leqslant \varepsilon</math>, и по критерию Коши ряд <math>\sum a_n</math> сходится. Второе утверждение следует из первого, так как если бы ряд <math>\sum b_n</math> сходился, то и ряд <math>\sum a_n</math> сходился бы.
Признак сходимости рядов с монотонно убывающими членами
Пусть <math>a_1 \geqslant a_2 \geqslant a_3 \geqslant ... \geqslant 0</math>. Тогда ряд <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n </math> сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд <math>\sum_{k=0}^{\infty} 2^{k}a_{2^k} = a_1 + 2a_2 + 4a_4 + 8a_8 + ...</math> Шаблон:Hider
Признаки Коши и д’Аламбера
Ряд <math>\sum a_n</math>
- Сходится абсолютно, если <math>\varlimsup_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1</math>
- Расходится, если <math>\varliminf_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| > 1</math>
- Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых <math>\varliminf_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \leqslant 1 \leqslant \varlimsup_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|</math>
Пусть задан ряд <math>\sum a_n</math> и <math>\alpha = \varlimsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}</math>. Тогда
- Если <math>\alpha < 1</math>, то ряд сходится абсолютно
- Если <math>\alpha > 1</math>, то ряд расходится
- Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых <math>\alpha = 1</math>
Утверждение о сходимости в признаках Коши и Даламбера выводится из сравнения с геометрической прогрессией (со знаменателями <math>\varlimsup_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|</math> и <math>\alpha</math> соответственно), о расходимости — из того, что общий член ряда не стремится к нулю.
Если признак Даламбера указывает на сходимость, то и признак Коши указывает на сходимость; если признак Коши не позволяет сделать вывода о сходимости, то и признак Даламбера тоже не позволяет сделать никаких выводов. Признак Коши сильнее признака Даламбера, поскольку существуют ряды, для которых признак Коши указывает на сходимость, а признак Даламбера не указывает на сходимость.
Интегральный признак Коши — Маклорена
Пусть задан ряд <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n, a_n \geqslant 0</math> и функция <math>f(x): \R \to \R</math> такая, что:
- <math>f(x)</math> нестрого монотонно убывает: <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \geqslant f(x_2)</math>
- <math>\forall \ n: \ f(n) = a_n</math>
Тогда ряд <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> и интеграл <math>\int\limits_1^\infty f(x) dx</math> сходятся или расходятся одновременно, причём <math>\forall k \geqslant 1 \ \sum_{n=k}^{\infty} a_n \geqslant \int\limits_k^{\infty} f(x) dx \geqslant \sum_{n=k+1}^{\infty} a_n</math>
Признак Раабе
Пусть задан ряд <math>\sum a_n</math>, <math>a_n > 0</math> и <math>R_n = n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right)</math>.
- Если <math>\varliminf_{n \to \infty} R_n > 1</math>, то ряд сходится
- Если <math>\varlimsup_{n \to \infty} R_n \leqslant 1</math>, то ряд расходится
- Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых <math>\varliminf_{n \to \infty} R_n \leqslant 1 \leqslant \varlimsup_{n \to \infty} R_n</math>
Признак Раабе основан на сравнении с обобщённым гармоническим рядом
Действия над рядами
- Если оба ряда <math>\sum a_n</math> и <math>\sum b_n</math> сходятся абсолютно, то и их сумма <math>\sum (a_n + b_n)</math> сходится абсолютно
- Если хотя бы один из рядов <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math> и <math>\sum_{n=0}^\infty b_n</math> сходится абсолютно, то их произведение по Коши <math>\sum c_n, c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}</math> сходится, если же оба ряда сходятся абсолютно, то и их произведение сходится абсолютно
- Ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда каждая его перестановка сходится. При этом все перестановки абсолютно сходящегося ряда сходятся к одной и той же сумме.
Примеры
Рассмотрим ряд <math>\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{2^3} + ...</math>. Для этого ряда:
- <math>\varliminf_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n = 0</math>
- <math>\varlimsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[2n]{\frac{1}{2^n}} = \frac{1}{\sqrt{2}}</math>
- <math>\varlimsup_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{2}\right)^n = +\infty</math>
Таким образом, признак Коши указывает на сходимость, признак Даламбера же не позволяет сделать никаких заключений.
Рассмотрим ряд <math>\sum_{n=1}^{\infty} 2^{n-(-1)^n}</math>
- <math>\varlimsup_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1+1}}{2^{n-1}} = 8</math>
- <math>\varliminf_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1-1}}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}</math>
- <math>\varlimsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} 2 \sqrt[n]{2^{(-1)^n}} = 2</math>
Таким образом, признак Коши указывает на расходимость, признак Даламбера же не позволяет сделать никаких заключений.
Ряд <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha}</math> сходится при <math>\alpha > 1</math> и расходится при <math>\alpha \leqslant 1</math>, однако:
- <math>\varliminf_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^\alpha = 1</math>
- <math>\varlimsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} n^{\alpha/n} = 1</math>
- <math>\varlimsup_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^\alpha = 1</math>
Таким образом, признаки Коши и Даламбера не позволяют сделать никаких выводов.
Ряд <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}</math> сходится условно по признаку Лейбница, но не абсолютно, так как гармонический ряд <math>\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}</math> расходится.
Абсолютная сходимость несобственных интегралов первого рода
- Определение
Несобственный интеграл первого рода <math>\int\limits_{a}^{+ \infty}f(x)dx</math> называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл <math>\int\limits_{a}^{+ \infty}|f(x)|dx</math>.
- Свойства
- из сходимости интеграла <math>\int\limits_{a}^{+ \infty}|f(x)|dx</math> вытекает сходимость интеграла <math>\int\limits_{a}^{+ \infty}f(x)dx</math>.
- Для выявления абсолютной сходимости несобственного интеграла первого рода используют признаки сходимости несобственных интегралов первого рода от неотрицательных функций.
- Если интеграл <math>\int\limits_{a}^{+ \infty}|f(x)|dx</math> расходится, то для выявления условной сходимости несобственного интеграла первого рода могут быть использованы признаки Абеля и Дирихле.
Абсолютная сходимость несобственных интегралов второго рода
- Определение
Пусть <math>f(x)</math> определена и интегрируема на <math>[a; b- \varepsilon\ ] \quad \forall \varepsilon\ \in (0; b-a) </math>, неограничена в левой окрестности точки <math>b</math>. Несобственный интеграл второго рода <math>\int\limits_{a}^{b}f(x)dx</math> называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл <math>\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx</math>.
- Свойства
- из сходимости интеграла <math>\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx</math> вытекает сходимость интеграла <math>\int\limits_{a}^{b}f(x)dx</math>.
- Для выявления абсолютной сходимости несобственного интеграла второго рода используют признаки сходимости несобственных интегралов второго рода от неотрицательных функций.
- Если интеграл <math>\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx</math> расходится, то для выявления условной сходимости несобственного интеграла второго рода могут быть использованы признаки Абеля и Дирихле.
Источники
См. также
