Русская Википедия:Абсолютное отклонение

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

В математическом анализе абсолютным отклонением двух функций на заданном сегменте называется следующее значение:

<math>\Delta = \sup _{a \leqslant x \leqslant b} | f(x) - g(x) |</math>,

где <math>f(x), g(x)</math> — некоторые функции, <math>[a, b]</math> — сегмент, <math>\sup</math> — операция взятия супремума.

В статистике абсолютное отклонение элементов в совокупности данных — абсолютная разница между элементом и выбранной точкой, от которой отсчитывается отклонение.

В случаях, когда заведомо известно, что выбранная точка является константой, а распределение элементов данных симметрично относительно неё, — при отсутствии дополнительных данных за точку отсчёта абсолютного отклонения принимается медиана или среднее значение рассматриваемой совокупности данных:

<math>|D| = |x_i-m(X)|, </math>

где

<math>|D|</math> — абсолютное отклонение,

<math>x_i</math> — элемент совокупности данных,

<math>m(X)</math> — одно из средних значений совокупности данных; это может быть среднее арифметическое (<math>\overline{x}</math>), но чаще всего в качестве среднего значения берётся медиана.

Среднее абсолютное отклонение, или просто среднее отклонение (Шаблон:Lang-en) — величина, используемая для оценки прогнозных функций:

<math>MAD=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |x_i-m(X)|</math>

Выбор среднего значения <math>m(X)</math> сильно влияет на среднее отклонение. Например, для совокупности {2, 2, 3, 4, 14}:

Среднее значение <math>m(X)</math>	Среднее абсолютное отклонение
Среднее арифметическое = 5	2 - 5| + |2 - 5| + |3 - 5| + |4 - 5| + |14 - 5|}{5} = 3.6</MATH>
Медиана = 3	2 - 3| + |2 - 3| + |3 - 3| + |4 - 3| + |14 - 3|}{5} = 2.8</MATH>
Мода = 2	2 - 2| + |2 - 2| + |3 - 2| + |4 - 2| + |14 - 2|}{5} = 3.0</MATH>

Среднее абсолютное отклонение использовалось в качестве оценки отклонения в исследовании операций на заре развития вычислительной техники, так как требовало меньших затрат вычислительных ресурсов по сравнению с более целесообразным среднеквадратическим отклонением.

Если в качестве средней величины выбрать медиану, то среднее абсолютное отклонение окажется наименьшим (из определения медианы). Если же выбрать среднее арифметическое — минимальным окажется среднее квадратическое отклонение: таким образом может определяться само среднее арифметическое.

См. также

• Среднее значение
• Дисперсия случайной величины