Русская Википедия:Абсолютно чёрное тело
Абсолю́тно чёрное те́ло — физическое тело, которое при любой температуре поглощает всё падающее на него электромагнитное излучение во всех диапазонах[1].
Таким образом, у абсолютно чёрного тела поглощательная способность (отношение поглощённой энергии к энергии падающего излучения) равна 1 для излучения всех частот, направлений распространения и поляризаций[2][3].
Несмотря на название, абсолютно чёрное тело само может испускать электромагнитное излучение любой частоты и визуально иметь цвет. Спектр излучения абсолютно чёрного тела определяется только его температурой.
Важность абсолютно чёрного тела в теории теплового излучения обусловлена тем, что вопрос о спектре равновесного теплового излучения тел любого цвета и коэффициента отражения сводится методами классической термодинамики к вопросу об излучении абсолютно чёрного тела. К концу XIX века проблема излучения абсолютно чёрного тела вышла на первый план.
Спектральная плотность мощности излучения чёрного тела (мощность, излучаемая с поверхности единичной площади в единичном интервале частот в герцах) задаётся формулой Планка
- <math> R_{\nu}(\nu,\,T) = \frac{2 \pi h \nu^3}{c^2} \frac{1}{e^{h \nu/ kT}-1}</math>,
где <math>T</math> — температура, <math>h</math> — постоянная Планка, <math>c</math> — скорость света, <math>k</math> — постоянная Больцмана, <math>\nu</math> — частота электромагнитного излучения.
Среди тел Солнечной системы свойствами абсолютно чёрного тела в наибольшей степени обладает Солнце. Максимум энергии излучения Солнца приходится примерно на длину волны 450 нм, что соответствует температуре наружных слоёв Солнца около 6000 K (если рассматривать Солнце как абсолютно чёрное тело)[4].
Термин «абсолютно чёрное тело» был введён Густавом Кирхгофом в 1862 году.
Практическая модель абсолютно чёрного тела
Абсолютно чёрных тел в природе не существует (чёрная дыра поглощает всё падающее излучение, но её температуру невозможно контролировать), поэтому в физике для экспериментов используется модель. Она представляет собой непрозрачную замкнутую полость с небольшим отверстием, стенки которой имеют одинаковую температуру. Свет, попадающий внутрь сквозь это отверстие, после многократных отражений будет полностью поглощён, и отверстие снаружи будет выглядеть совершенно чёрным[3]. Но при нагревании этой полости у неё появится собственное видимое излучение. Поскольку излучение, испущенное внутренними стенками полости, прежде чем выйдет (ведь отверстие очень мало), в подавляющей доле случаев претерпит огромное количество новых поглощений и излучений, то можно с уверенностью сказать, что излучение внутри полости находится в термодинамическом равновесии со стенками. (На самом деле, отверстие для этой модели вообще не важно, оно нужно только чтобы подчеркнуть принципиальную наблюдаемость излучения, находящегося внутри; отверстие можно, например, совсем закрыть, и быстро приоткрыть только тогда, когда равновесие уже установилось и проводится измерение).
Электромагнитное излучение, находящееся в термодинамическом равновесии с абсолютно чёрным телом при данной температуре (например, излучение внутри полости в абсолютно чёрном теле), называется чернотельным (или тепловым равновесным) излучением. Равновесное тепловое излучение однородно, изотропно и неполяризовано, перенос энергии в нём отсутствует, все его характеристики зависят только от температуры абсолютно чёрного тела-излучателя (и, поскольку чернотельное излучение находится в тепловом равновесии с данным телом, эта температура может быть приписана излучению).
Примеры чёрных тел и чернотельного излучения
Близким к единице коэффициентом поглощения обладают сажа и платиновая чернь[3]. Сажа поглощает до 99 % падающего излучения (то есть имеет альбедо, равное 0,01) в видимом диапазоне длин волн, однако инфракрасное излучение поглощается ею значительно хуже.
Наиболее чёрное из всех известных веществ — изобретённая в 2014 году субстанция Vantablack, состоящая из параллельно ориентированных углеродных нанотрубок, — поглощает 99,965 % падающего на него излучения в диапазонах видимого света, микроволн и радиоволн.
Очень близко по своим свойствам к чернотельному так называемое реликтовое излучение, или космический микроволновой фон — заполняющее Вселенную излучение с температурой около 3 K.
Чернотельным является излучение Хокинга (квантовомеханическое испарение чёрных дыр). Это излучение имеет температуру <math>T_\text{BH} = h c^3/(16\pi^2 kGM)</math>, где <math>G</math> — гравитационная постоянная, а <math>M</math> — масса чёрной дыры.
Законы излучения абсолютно чёрного тела
Под законами излучения подразумеваются зависимости испускательной способности поверхности тела от частоты (<math>R_{\nu}(\nu)</math>, Вт/м2/Гц) или длины волны (<math>R_{\lambda}(\lambda)</math>, Вт/м2/м) излучения, а также утверждения, касающиеся особенностей таких зависимостей. Вместо испускательной способности может рассматриваться связанная с ней формулой <math>u = 4R/c\,</math> (где <math>c</math> — скорость света) объёмная спектральная плотность излучения (Дж/м3/Гц для <math>u_{\nu}(\nu)</math> или Дж/м3/м для <math>u_{\lambda}(\lambda)</math>).
Изначально при поиске выражения для закона излучения чёрного тела были применены классические методы, которые дали ряд важных и верных результатов, но полностью решить проблему не позволили. В итоге анализ излучения абсолютно чёрного тела явился одной из предпосылок появления квантовой механики.
Классические законы
Закон Рэлея — Джинса
Шаблон:Основная статья Попытка описать излучение абсолютно чёрного тела на основе классических принципов термодинамики приводит к закону Рэлея — Джинса (Шаблон:Math — постоянная Больцмана, <math>T</math> — температура):
- <math> u_{\nu} = \frac{8\pi\nu^2kT}{c^3}</math>,
- <math> u_{\lambda} = \frac{8\pi kT}{\lambda^4}</math>.
Формула соответствует эксперименту в длинноволновой области спектра.
Однако, эта формула предполагает неограниченное квадратичное возрастание спектральной плотности с частотой. На практике данный закон означал бы невозможность термодинамического равновесия между веществом и излучением, поскольку согласно ему вся тепловая энергия должна была бы перейти в энергию коротковолнового излучения. Такое гипотетическое явление было названо ультрафиолетовой катастрофой.
Первый закон излучения Вина
В 1893 году Вильгельм Вин, воспользовавшись, помимо классической термодинамики, электромагнитной теорией света, вывел следующую формулу:
- <math> u_\nu = \nu^3 f\left(\frac{\nu}{T}\right)</math>,
- <math> u_\lambda = \lambda^{-5} f\left(\frac{c}{\lambda T}\right)</math>,
где Шаблон:Math — функция, зависящая исключительно от отношения частоты к температуре. Установить её вид только из термодинамических соображений невозможно.
Первая формула Вина справедлива для всех частот.
Из неё выводится закон смещения Вина (закон максимума) в виде
- <math>\lambda_{max} \sim \fracШаблон:\rm const{T} </math>,
где <math>\lambda_{max}</math> отвечает максимуму функции <math>u_{\lambda}(\lambda)</math>. Также можно получить закон Стефана — Больцмана:
- <math>J = \frac{c}{4}\int u_{\nu}\,d\nu \sim {\rm const}\cdot T^4 </math>,
где <math>J</math> — мощность излучения единицы поверхности тела. Константы могут быть оценены из эксперимента. Для теоретического же их определения требуются методы квантовой механики.
Второй закон излучения Вина
В 1896 году Вин на основе дополнительных предположений вывел второй закон:
- <math> u_\nu = C_1 \nu^3 e^{-C_2\frac{\nu}{T}}</math>,
- <math> u_\lambda = C_1\,c^4\lambda^{-5} e^{-C_2\frac{c}{\lambda T}}</math>,
где Шаблон:Math — константы. Опыт показывает, что вторая формула Вина справедлива лишь в пределе высоких частот (малых длин волн). Она является частным конкретным случаем первого закона Вина.
Как и в случае закона максимума, константы не могут быть определены только из классических моделей.
Квантовомеханические законы
Закон Планка
Шаблон:Основная статья По современным представлениям, интенсивность излучения абсолютно чёрного тела в зависимости от частоты и температуры определяется законом Планка[5]:
- <math> u_{\nu} = \frac{8 \pi h \nu^3}{c^3} \frac{1}{e^{h \nu/ kT}-1},\qquad R_{\nu} = \frac{2 \pi h \nu^3}{c^2} \frac{1}{e^{h \nu/ kT}-1}</math>.
Здесь приведено выражение как для объёмной спектральной плотности энергии <math>u_{\nu}</math>, так и для поверхностной спектральной плотности мощности излучения <math>R_{\nu}</math>. Это эквивалентно
- <math> u_{\lambda} = {8 \pi h {c}\over \lambda^5}{1\over e^{h c/\lambda kT}-1},\qquad
R_{\lambda} = {2 \pi h {c^2}\over \lambda^5}{1\over e^{h c/\lambda kT}-1}</math>, где те же величины представлены как зависимости от длины волны.
Исходя из формулы Планка можно получить формулу Рэлея — Джинса при <math>h\nu / kT \ll 1</math>.
Также было показано, что второй закон Вина следует из закона Планка для больших энергий квантов — и были найдены входящие в закон Вина постоянные Шаблон:Math и Шаблон:Math. В результате формула второго закона Вина обретает вид
- <math> u_\nu = \frac{8\pi h \nu^3}{c^3} e^{-\frac{h\nu}{kT}}\quad (h\nu / kT \gg 1)</math>.
Во всех вышеприведённых выражениях через Шаблон:Math обозначена постоянная Планка.
Закон смещения Вина
Длина волны, при которой спектральная плотность мощности излучения абсолютно чёрного тела максимальна, определяется законом смещения Вина:
- <math>\lambda_\text{max} = \frac{0{,}002898}{T},</math>
где <math>T</math> — температура в кельвинах, а <math>\lambda_\text{max}</math> — длина волны, отвечающей максимуму <math>u_{\lambda}</math>, в метрах. Числовой множитель получается из формулы Планка.
Если считать, что кожа человека близка по свойствам к абсолютно чёрному телу, то максимум спектра излучения при температуре 36 °C (309 K) лежит на длине волны 9400 нм (в инфракрасной области).
Закон Стефана — Больцмана
Шаблон:Основная статья Закон Стефана — Больцмана гласит, что полная мощность излучения (Вт/м2) абсолютно чёрного тела, то есть интеграл спектральной плотности мощности по всем частотам, приходящаяся на единицу площади поверхности, прямо пропорциональна четвёртой степени температуры тела:
- <math> J = \int R_{\nu}(\nu, T)\,d\nu = \sigma T^4</math>,
где
- <math>
\sigma = \frac{2 \pi^5 k^4}{15 c^2 h^3} = \frac{\pi^2 k^4}{60\hbar^3 c^2} \approx 5{,}670400(40) \cdot 10^{-8} </math> Вт/(м2·К4) — постоянная Стефана — Больцмана.
Таким образом, абсолютно чёрное тело при <math>T</math> = 100 K излучает 5,67 ватта с квадратного метра поверхности. При 1000 K мощность излучения увеличивается до 56,7 киловатта с квадратного метра.
Для нечёрных тел приближённо <math>J = \epsilon \sigma T^4</math>, где <math>\epsilon</math> — степень черноты. Для абсолютно чёрного тела <math>\epsilon = 1</math>, для других объектов в силу закона Кирхгофа степень черноты равна коэффициенту поглощения <math>\epsilon = \alpha = 1 - \rho - \tau</math>, где <math>\alpha</math> — коэффициент поглощения, <math>\rho</math> — коэффициент отражения, а <math>\tau</math> — коэффициент пропускания. Поэтому для уменьшения лучистого теплопереноса поверхность окрашивают в белый цвет или наносят блестящее покрытие, а для увеличения — затемняют.
Цветность чернотельного излучения
Цветность чернотельного излучения, или, вернее, цветовой тон излучения абсолютно чёрного тела при его определённой температуре, приведена в таблице:
| Температурный интервал в кельвинах | Цвет |
|---|---|
| до 1000 | Красный |
| 1000—2000 | Оранжевый |
| 2000—3000 | Жёлтый |
| 3000—4500 | Бледно-жёлтый |
| 4500—5500 | Желтовато-белый |
| 5500—6500 | Чисто белый |
| 6500—8000 | Голубовато-белый |
| 8000—15000 | Бело-голубой |
| 15000 и более | Голубой |
Цвета даны в сравнении с рассеянным дневным светом (D65). Реально воспринимаемый цвет может быть искажён адаптацией глаза к условиям освещения. Видимый цвет чёрных тел с разной температурой также представлен на диаграмме в начале статьи.
Термодинамика чернотельного излучения
Шаблон:Основная статья В термодинамике равновесное тепловое излучение рассматривают как фотонный газ, состоящий из электронейтральных безмассовых частиц, заполняющий полость объёмом Шаблон:Mvar в абсолютно чёрном теле (см. раздел «Практическая модель»), с давлением Шаблон:Mvar и температурой Шаблон:Mvar, совпадающей с температурой стенок полости. Для фотонного газа справедливы следующие термодинамические соотношенияШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn: Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF
Для большей компактности в формулах использована радиационная постоянная Шаблон:Mvar вместо постоянной Стефана — Больцмана Шаблон:Math: Шаблон:EF где Шаблон:Mvar — скорость света в вакууме.
Фотонный газ представляет собой систему с одной термодинамической степенью свободыШаблон:Sfn.
Давление фотонного газа не зависит от объёма, поэтому для фотонного газа изотермический процесс Шаблон:Math является одновременно и изобарным процессом Шаблон:Math. С повышением температуры давление фотонного газа растёт очень быстро, достигая 1 атмосферы уже при Шаблон:Math = 1,4Шаблон:E K, а при температуре 107 K (температура центра Солнца) давление достигает значения 2,5Шаблон:E атм (2,5Шаблон:E Па). Величина теплоёмкости излучения становится сравнимой с величиной теплоёмкости одноатомного идеального газа лишь при температурах порядка миллионов кельвинов.
Представление о температуре излучения было введено Б. Б. Голицыным (1893).
См. также
- Точка Дрейпера
- Фундаментальные физические постоянные
- Тепловое излучение
- Закон смещения Вина
- Vantablack
- Серое тело
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Мартинсон Л. К., Смирнов Е. В. Квантовая теория // Физика в техническом университете, 5-й том. — МГТУ им. Н. Э. Баумана.
Ссылки
- Спектр чёрного тела (flash-приложение)
- Шаблон:Cite web
