Русская Википедия:Абстрактный клеточный комплекс
Абстрактный клеточный компле́кс — множество с Шаблон:Нп5, в котором неотрицательное целое число, называемое размерностью, присвоено каждой точке. Понятие используется в Шаблон:Iw для задач анализа двумерных и трёхмерных цифровых изображений. Комплекс называется «абстрактным» потому, что его точки, называемые «клетками», не являются подмножествами хаусдорфова пространства, как это требуется для клеточных комплексов, применяемых в алгебраической топологии и теории гомотопий.
История
Сходные конструкции с подобным уровнем общности рассматривались Листингом (1862)[1], Штайницем (1908)[2], Шаблон:Iw (1933)[3], Рейдемейстером (1938)[4].
Штайниц определил абстрактный клеточный комплекс как тройку <math>C=(E,B,dim)</math>, где <math>E</math> — произвольное множество, <math>B</math> — антисимметричное, иррефлексивное и транзитивное бинарное отношение ограничивания между элементами множества <math>E</math>, а <math>dim: E \to \N</math> — функция, присваивающая неотрицательное число каждому элементу из <math>E</math> таким образом, что если <math>B(a, b)</math>, то справедливо: <math>dim(a) < dim(b)</math>. «Клеточный комплекс» в определении Уайтхеда (1939) требует отделимости пространства и гомеоморфность клеток единичному евклидову кубу соответствующей размерности[5], в дальнейшем используя эту конструкцию для определения CW-комплекса[6]. Александров в книге «Комбинаторная топология» (1941, первое издание вышло в 1947 году[7]), определяя «клеточный комплекс», наложил требования наличия в комплексе противоположной клетки и определённости коэффициента инцидентности между каждой парой клеток соседних размерностей (тем самым максимально приблизив к симплициальному комплексу).
С 1989 года абстрактные комплексы в определении Штайница используются в исследованиях проблематики компьютерного анализа изображений[8][9][10].
Свойства
Топология абстрактных комплексов основана на частичном порядке на множестве его точек или клеток. В отличие от симплициального комплекса, элементы абстрактного комплекса не являются симплексами, в частности, <math>n</math>-мерный элемент абстрактного комплекса не обязательно имеет <math>n+1</math> нульмерных сторон и не каждое подмножество множества нульмерных сторон является клеткой. Благодаря этому понятие абстрактного клеточного комплекса может быть применено к двух- и трёхмерным решёткам, широко используемым в обработке изображений, тогда как для симплициального комплекса это невозможно. В абстрактном комплексе можно ввести координаты, потому что существуют несимплициальные комплексы, являющиеся декартовыми произведениями таких «линейных» связных одномерных комплексов, в которых каждая (кроме двух) нульмерная клетка ограничивает ровно две одномерные клетки. Только декартовы комплексы позволяют ввести такие координаты, что каждая клетка имеет набор координат и две различные клетки имеют всегда разные наборы координат. Набор координат может служить «именем» (идентификатором) клетки, что важно для обработки комплексов. Абстрактные комплексы позволяют кроме того ввести классическую топологию (топологию Александрова) в решётки, которые служат основой обработки изображений, благодаря чему становится возможным дать точные определения топологических понятий связности и границы подмножества. Размерность клеток определяется в общем случае иначе, чем в симплициальных комплексах.
Основное отличие от клеточных комплексов, применяемых в алгебраической топологии в том, что абстрактный комплекс не накладывает требований к отделимости пространства. Это важно для работы с компьютером, которому невозможно предъявить недискретные отделимые пространства.
Примечания
- ↑ Listing J.: «Der Census räumlicher Complexe». Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, том 10, Göttingen, 1862, стр. 97-182.
- ↑ Steinitz E.: «Beitraege zur Analysis». Sitzungsbericht Berliner Mathematischen Gesellschaft, том 7, 1908, стр. 29-49.
- ↑ Tucker A.W.: «An abstract approach to manifolds», Annals Mathematics, v. 34, 1933, стр. 191—243.
- ↑ Reidemeister K.: «Topologie der Polyeder und kombinatorische Topologie der Komplexe». Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Leipzig, 1938 (2-е издание 1953)
- ↑ Шаблон:Из
- ↑ Впоследствии в алгебраической топологии «клеточными комплексами» стали называть CW-комплексы
- ↑ Александров П. С. Комбинаторная топология. ГИТТЛ, 1947
- ↑ Kovalevsky V.: «Finite Topology as Applied to Image Analysis», Computer Vision, Graphics and Image Processing, v. 45, No. 2, 1989, стр. 141—161.
- ↑ V. Kovalevski. Digital topology with applications of cell complexes to image analyzis Шаблон:Wayback
- ↑ Klette R. and Rosenfeld. A.: «Digital Geometry», Elsevier, 2004.
