Русская Википедия:Адиабатический инвариант
Адиабатический инвариант — физическая величина, которая не меняется при плавном изменении некоторых параметров физической системы — таком, что характерное время этого изменения гораздо больше характерного времени процессов, происходящих в самой системе[1].
Возникновение термина
Адиабатический процесс первоначально означал процесс без теплообмена с окружающей средой. Название возникло от термина «адиабатическая оболочка»(Шаблон:Lang-grc — «непроходимый») — оболочка, не пропускающая тепло.
Но в середине XX века некоторые учёные (в частности, Л. Д. Ландау) стали так называть процесс, проходящий через практически равновесные состояния, то есть достаточно медленно и плавно. Сейчас такой процесс называют квазистатическим или равновесным. Исторически название «адиабатический инвариант» появилось по аналогии с таким термодинамическим процессом.
В настоящее время слово «адиабатический» снова используется в первоначальном значении («процесс без теплообмена со средой»), но термин «адиабатический инвариант» уже устоялся.
Классическая механика
В классической механической системе, которая осуществляет периодическое движение с периодом <math>T</math> и зависит от параметра <math>\lambda</math>, адиабатичность изменения параметра определяется условием
- <math>T\frac{d\lambda}{dt}\ll\lambda</math>.
Функция Гамильтона системы зависит от её внутренних переменных и параметра
- <math>\mathcal{H}=\mathcal{H}(q, p, t, \lambda) </math>
Внутренние переменные <math>q</math> и <math>p</math> меняются со временем быстро, с периодом <math>T</math>. Но энергия системы <math>E</math> является интегралом движения при неизменном параметре <math>\lambda</math>. При изменении параметра во времени
- <math>\frac{dE}{dt}=\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial\lambda}\frac{d\lambda}{dt}</math>.
При усреднении этого выражения по времени в течение периода можно считать, что параметр <math>\lambda</math> неизменен.
- <math>\overline{\frac{dE}{dt}}=\frac{d\lambda}{dt}\overline{\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial\lambda}}</math>,
где усреднение определено как
- <math>\overline{\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial\lambda}}=\frac1T\int\limits_0^T\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial\lambda}\,dt</math>.
Удобно перейти от интегрирования по времени к интегрированию по переменной <math>q</math>:
- <math>dt=\frac{dq}{\partial \mathcal{H}/\partial p}</math>.
В таком случае период <math>T</math> равен
- <math>T=\oint\frac{dq}{\partial\mathcal{H}/\partial p}</math>,
где интегрирование проводится вперёд и назад в пределах изменения координаты за период движения.
Записывая импульс как функцию энергии <math>E</math>, координаты <math>q</math> и параметра, после некоторых преобразований можно получить
- <math>\oint\left(\frac{\partial p}{\partial E}\overline{\frac{\partial E}{\partial t}}+\frac{\partial p}{\partial\lambda}\frac{d\lambda}{dt}\right)\,dq=0</math>.
Окончательно можно записать
- <math>\overline{\frac{dI}{dt}}=0</math>,
где величина
- <math>I=\frac1{2\pi}\oint p\,dq</math>
и будет адиабатическим инвариантом.
Интеграл, входящий в полученное выражение, приобретает простой геометрический смысл, если обратиться к представлению о фазовом пространстве и фазовой траектории системы в нём. В рассматриваемом случае система имеет одну степень свободы, поэтому фазовое пространство представляет собой фазовую плоскость, образуемую множеством точек с координатами <math>p</math> и <math>q</math>. Поскольку система совершает периодическое движение, то её фазовая траектория[2] является замкнутой кривой на этой плоскости, соответственно, интеграл берётся вдоль этой замкнутой кривой. В итоге следует, что интеграл <math>\oint p\,dq</math> равен площади фигуры, ограниченной фазовой траекторией системы.
Площадь можно выразить и в виде двумерного интеграла, тогда для адиабатического инварианта будет выполняться
- <math>I=\frac1{2\pi} \int dp\,dq</math>.
Пример. Гармонический осциллятор
Рассмотрим в качестве примера одномерный гармонический осциллятор. Функция Гамильтона такого осциллятора имеет вид
- <math>H=\frac{p^2}{2m}+\frac{m\omega^2q^2}2</math>,
где <math>\omega</math> — собственная (циклическая) частота осциллятора. Уравнение фазовой траектории в данном случае определяется законом сохранения энергии <math>H(p,q)=E</math> и поэтому имеет вид
- <math>\frac{p^2}{2m}+\frac{m\omega^2q^2}2=E</math>.
Из уравнения видно, что траектория представляет собой эллипс с полуосями <math>\sqrt{2mE}</math> и <math>\sqrt{2E/m\omega^2}</math>, соответственно его площадь, делённая на <math>2\pi</math>, равна <math>\frac E\omega</math>. Таким образом, величина <math>I=\frac E\omega</math> является адиабатическим инвариантом для гармонического осциллятора. Отсюда следует, что в тех случаях, когда параметры осциллятора изменяются медленно, его энергия изменяется пропорционально частоте.
Свойства адиабатического инварианта
Производная от адиабатического инварианта по энергии равна периоду, разделённому на <math>2\pi</math>.
- <math>2\pi\frac{\partial I}{\partial E}=T</math>,
или
- <math>\frac{\partial E}{\partial I}=\omega </math>,
где <math>\omega</math> — циклическая частота.
С помощью канонических преобразований можно сделать адиабатический инвариант новой переменной, которая называется переменной действия. В новой системе переменных она играет роль импульса. Канонически сопряженная к ней переменная называется угловой переменной.
Примечания
Литература
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Фазовая траектория — совокупность точек с координатами, равными значениям, которые принимают величины <math>p</math> и <math>q</math> в процессе движения системы.
