Русская Википедия:Аксиоматика Бахмана
Аксиоматика Бахмана — система аксиом нейтральной и Евклидовой геометрий, построенная на понятии групп движений. Предложенная Фридрихом Бахманом.[1]
Обозначения
Переместительность двух элементов в группе, то есть выполнение тождества <math>a\cdot b=b\cdot a</math> будет обозначаться <math>a|b</math>; при этом <math>a, b|c, d</math> означает одновременное выполнение <math>a|c</math>, <math>a|d</math>, <math>b|c</math> и <math>b|d</math>.
Дана группа <math>\mathfrak{G}</math> с выделенной инвариантной системой образующих <math>\mathfrak{S}</math> состоящая из инволютивных элементов. Элементы из <math>\mathfrak{S}</math> обозначаются малыми латинскими буквами. Те инволютивные элементы из <math>\mathfrak{G}</math>, которые представимы как произведение двух элементов из <math>\mathfrak{S}</math> (то есть элементы вида <math>a\cdot b</math>, где <math>a, b\in \mathfrak{S}</math>) обозначаются большими латинскими буквами.
Нейтральная геометрия
Аксиома 1. Для любых <math>P</math>, <math>Q</math> найдется <math>g</math> такой, что <math>P,Q|g</math>.
Аксиома 2. Из <math>P,Q|g,h</math> следует, что <math>P=Q</math> или <math>g=h</math>.
Аксиома 3. Если <math>a,b,c|P</math>, то существует элемент <math>d</math> такой,что <math>a\cdot b\cdot c=d</math>.
Аксиома 4. Если <math>a,b,c|g</math>, то существует элемент <math>d</math> такой,что <math>a\cdot b\cdot c=d</math>.
Аксиома D. Существуют <math>g,h,j</math> такие, что <math>g|h</math>, и не имеет места ни одно из соотношений <math>j|g</math>, <math>j|h</math>, <math>j|g\cdot h</math>.
Связь с обычными аксиомами
Этой системе аксиом удовлетворяют группы евклидовой и неевклидовых плоскостей, если принять за <math>\mathfrak{S}</math> множество осевых симметрии. При этом те инволютивные элементы группы, которые представимы как произведение двух элементов из <math>\mathfrak{S}</math>, окажутся при этом центральными симметриями.
Таким образом множество <math>\mathfrak{S}</math> можно отождествить с множеством прямых на плоскости, а множество инволютивных элементов группы представимых как произведение двух элементов из <math>\mathfrak{S}</math> с множеством точек.
При этом,
- соотношение <math>P|a</math> означает то что точка <math>P</math> лежит на прямой <math>a</math>.
- соотношение <math>a|b</math> означает то что прямая <math>a</math> перпендикулярна прямой <math>b</math>;
- в этом случае <math>P=a\cdot b</math> есть точка пересечения <math>a</math> и <math>b</math>.
Евклидова геометрия
Система для евклидовой геометрии пополняется двумя аксиомами
Аксиома R. Из <math>a,b|c</math> и <math>a|d</math> следует <math>b|d</math>.
Аксиома V. Для любых <math>a,b</math> всегда найдется <math>C</math>, что <math>a,b|C</math>, или найдется такая прямая <math>c</math>, что <math>a,b|c</math>.
Примечания
