Русская Википедия:Аксиома бесконечности

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Аксиомой бесконечности (Шаблон:Lang-en) называется следующее высказывание теории множеств:

<math>\exist a \ (\varnothing \in a \ \land \ \forall b \ (b \in a \to b \cup \{b\} \in a) \ )</math>, где <math>b \cup \{b\} = \{c: \ c \in b \ \lor \ c = b\}</math>

Из аксиомы бесконечности следует существование [по меньшей мере одного] бесконечного множества.

Другие формулировки аксиомы бесконечности

<math>\exist a_\infty \ (\exist a_\varnothing \ (a_\varnothing \in a_\infty \ \land \ \forall b \ (b \notin a_\varnothing)) \ \ \land \ \ \forall b \exist c \forall d \ (b \in a_\infty \to (c \in a_\infty \ \land \ (d \in c \leftrightarrow d \in b \ \lor \ d = b))))</math>

<math>\exist a_\infty \ (\exist a_\varnothing \ (a_\varnothing \in a_\infty \ \land \ \forall b \ (b \notin a_\varnothing)) \ \ \land \ \ \forall b \forall c \exist d \ (b \in a_\infty \to ((d \in c \leftrightarrow d \in b \ \lor \ d = b) \to c \in a_\infty)))</math>

Примечания

0. Индуктивные высказывания

Примеры

<math>\exist a \ (\varnothing \in a \quad \land \quad \forall b \ (b \in a \to \{b\} \in a))</math>, где <math>\{b\}</math> — множество, единственным элементом которого является <math>b</math>.

<math>\exist a \ (\varnothing \in a \quad \land \quad \forall b \ (b \in a \to \mathcal{P}(b) \in a))</math>, где <math>\mathcal{P}(b)</math> — булеан множества <math>b</math>

1. О выводимости аксиомы бесконечности из других высказываний

2. О единственности «бесконечного множества»

3. Прочее

См. также

• Аксиоматика теории множеств

• Математическая индукция

• Трансфинитная индукция

• Натуральные числа