Русская Википедия:Аксиома булеана

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:К переименованию Аксиома булеана — аксиома теории множеств, согласно которой на основе любого множества можно образовать множество его подмножеств, то есть такое множество <math>d</math>, которое состоит из всех собственных и несобственных подмножеств <math>b</math> данного множества <math>a</math>". В символьном виде эта аксиома записывается так:

<math>\forall a \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow \forall c \ (c \in b \to c \in a) \ )</math>

Аксиома множества подмножеств задаёт тип множеств (подмножества множества <math>a</math>), которые должны быть элементами образуемого множества <math>d</math>. Вместе с тем она не указывает алгоритма нахождения всех элементов образуемого множества <math>d</math>.

Аксиому множества подмножеств можно вывести из следующих высказываний:

• <math>\exist d \forall b \ (b \subseteq a \to b \in d)</math>

• <math>\forall d \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in d \land b \subseteq a)</math>

Первое из этих высказываний — одно из следствий аксиомы множества подмножеств, а второе — одна из конкретизаций схемы выделения.

Руководствуясь аксиомой объёмности, можно доказать единственность множества подмножеств для каждого множества <math>a</math>. Иначе говоря, можно доказать, что аксиома множества подмножеств равносильна высказыванию

<math>\forall a \exists ! d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a)</math>, что есть <math>\forall a \exist d \ (d = \{b: b \subseteq a\} \quad \land \quad \forall d' \ (d' \ne d \to d' \ne \{b: b \subseteq a\}) \ )</math>.

Альтернативные формулировки аксиомы

<math>\forall a \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a)</math>, где <math>b \subseteq a \Leftrightarrow \forall c \ (c \in b \to c \in a)</math>

<math>\forall a \exist d \ (d = \{b: b \subseteq a\})</math>

<math>\forall a \exist d \forall b \ (b \notin d \leftrightarrow \exist c \ (c \in b \land c \notin a))</math>

См. также

• Аксиоматика теории множеств
• Множество подмножеств