Русская Википедия:Аксиома объёмности

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Аксиомой объёмности называется следующее высказывание теории множеств:

<math>\forall a_1 \forall a_2 \ (\forall b \ (b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2) \to a_1 = a_2)</math>

Если переписать аксиому объёмности в виде

<math>\forall a_1 \forall a_2 \ (\forall b \ (b \in a_1 \to b \in a_2) \ \land \ \forall b \ (b \in a_2 \to b \in a_1) \to a_1 = a_2)</math>,

тогда названную аксиому можно сформулировать следующим образом:

«Каковы бы ни были два множества, если каждый элемент 1-го множества принадлежит 2-му множеству, а каждый элемент 2-го множества принадлежит 1-му множеству, тогда первое множество идентично второму множеству.»

Другие формулировки аксиомы объёмности

<math>\forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 \subseteq a_2 \ \land \ a_2 \subseteq a_1 \to a_1 = a_2)</math>

<math>\forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 \ne a_2 \to \exist b \ (b \in a_1 \ \veebar \ b \in a_2) \ )</math>

Примечания

Аксиома объёмности выражает достаточное условие равенства двух множеств. Необходимое условие равенства множеств выводится из аксиом предиката <math>=</math>, а именно:

<math>\forall a \ (a = a)</math>,

<math>\forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 = a_2 \to (\varphi[a_1] \to \varphi[a_2]))</math>, где <math>\varphi[a_1]</math> — любое математически корректное суждение об <math>a_1</math>, а <math>\varphi[a_2]</math> — то же самое суждение, но об <math>a_2</math>.

Соединяя указанное достаточное условие равенства множеств с аксиомой объёмности, получаем следующий критерий равенства множеств:

<math>\forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 = a_2 \leftrightarrow \forall b \ (b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2) \ )</math>

Указанный критерий равенства множеств не хуже и не лучше других аналогичных критериев, включая:

1) критерий равенства комплексных чисел

<math>\forall x \forall y \forall u \forall v \ (x,y,u,v \in \mathbb{R} \to (x + iy = u + iv \leftrightarrow x = u \ \land \ y = v))</math>,

2) критерий равенства упорядоченных пар

<math>\forall x \forall y \forall u \forall v \ ( \ (x,y) = (u,v) \leftrightarrow x = u \ \land \ y = v) \ )</math>,

3) критерий равенства неупорядоченных пар

<math>\forall x \forall y \forall u \forall v \ (\{x,y\} = \{u,v\} \leftrightarrow x = u \ \land \ y = v \quad \lor \quad x = v \ \land \ y = u) \ )</math>,

4) критерий равенства двух последовательностей

<math>\{x_n\} = \{y_n\} \leftrightarrow \forall i \ (i \in \mathbb{N} \to x_i = y_i)</math>.

Из изложенного ясно, что аксиома объёмности является органичной частью аксиоматики теории множеств.

Аксиому объёмности применяют при доказательстве единственности множества, существование которого уже декларировано аксиомой, либо установлено доказательством теоремы.

Примеры

1. Доказательство единственности пустого множества

Существование [по меньшей мере одного] пустого множества декларировано аксиомой

<math>\exist a \forall b \ (b \notin a)</math>.

Требуется доказать существование не более, чем одного множества <math>a</math>, для которого верно высказывание

<math>\forall b \ (b \notin a)</math>.

Иначе говоря, требуется доказать

<math>\exist \{0,1\} a \ (\forall b \ (b \notin a))</math>

Или, что то же самое, требуется доказать

<math>\forall a_1 \forall a_2 \ (\forall b (b \notin a_1) \ \land \ \forall b (b \notin a_2) \to a_1 = a_2)</math>

Доказательство

<math>\begin{align}

\forall b (b \notin a_1) \ \land \ \forall b (b \notin a_2) \Leftrightarrow \forall b (b \notin a_1 \ \land \ b \notin a_2) \Rightarrow \forall b (b \notin a_1 \leftrightarrow b \notin a_2) \\ \ \Leftrightarrow \forall b (b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2) \Rightarrow a_1 = a_2 \end{align}</math>

Поскольку <math>\exist a \forall b \ (b \notin a) \ \land \ \exist\{0,1\}a \forall b \ (b \notin a) \Leftrightarrow \exist \{1\} a \forall b \ (b \notin a)</math>, постольку доказательство единственности пустого множества завершено.

2. Доказательство единственности множества подмножеств

Существование [по меньшей мере одного] множества подмножеств декларировано аксиомой

<math>\forall a \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a)</math>

Требуется доказать существование не более, чем одного множества <math>d</math>, для которого верно высказывание

<math>\forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a)</math>

Иначе говоря, требуется доказать

<math>\exist \{0,1\} d \ (\forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a))</math>

Или, что то же самое, требуется доказать

<math>\forall d_1 \forall d_2 \ (\forall b \ (b \in d_1 \leftrightarrow b \subseteq a) \ \land \ \forall b \ (b \in d_2 \leftrightarrow b \subseteq a) \to d_1 = d_2)</math>

Доказательство

<math>\begin{align}

\forall b (b \in d_1 \leftrightarrow b \subseteq a) \ \land \ \forall b (b \in d_2 \leftrightarrow b \subseteq a) \Leftrightarrow \forall b ((b \in d_1 \leftrightarrow b \subseteq a) \ \land \ (b \in d_2 \leftrightarrow b \subseteq a)) \\ \ \Rightarrow \forall b (b \in d_1 \leftrightarrow b \in d_2) \Rightarrow d_1 = d_2 \end{align}</math>

Поскольку <math>\exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a) \ \land \ \exist \{0,1\}d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a) \Leftrightarrow \exist \{1\}d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a)</math>, постольку доказательство единственности множества подмножеств завершено.

См. также

• Аксиоматика теории множеств