Русская Википедия:Аксиома пары

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Аксиомой [существования неупорядоченной] пары называется следующее высказывание теории множеств:

<math>\forall a_1 \forall a_2 \exist c \forall b \ (b \in c \ \leftrightarrow \ b = a_1 \ \lor \ b = a_2)</math>

А именно: «Из любых двух [одинаковых или разных] множеств можно образовать [по меньшей мере одну] „неупорядоченную пару“, то есть такое множество <math>c</math>, каждый элемент <math>b</math> которого идентичен данному множеству <math>a_1</math> или данному множеству <math>a_2</math>.»

Другие формулировки аксиомы пары

<math>\forall a_1 \forall a_2 \exist c \ (c = \{b: \ b = a_1 \ \lor \ b = a_2\} \ )</math>

<math>\forall a_1 \forall a_2 \exist c \forall b \ (b \notin c \ \leftrightarrow \ b \ne a_1 \ \land \ b \ne a_2)</math>

<math>\forall a_1 \forall a_2 \exist c \ (a_1 \in c \ \land \ a_2 \in c \quad \land \quad \forall b \ (b \ne a_1 \ \land \ b \ne a_2 \to b \notin c) \ )</math>

Примечания

1. Аксиому пары можно вывести из схемы преобразования

• <math>\forall a \exist d \forall c \ (c \in d \ \leftrightarrow \ \exist b \ (b \in a \ \land \ c = \mathrm{f}(b) \ ))</math>, если положить <math>a = \mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing))</math> и выбрать функцию <math>\mathrm{f}</math> такой, что <math>c = \mathrm{f}(b) \ \Leftrightarrow \ (b = \varnothing \to c = a_1) \land (b \ne \varnothing \to c = a_2)</math>.

2. Руководствуясь аксиомой объёмности можно доказать единственность [неупорядоченной] пары. Иначе говоря, можно доказать, что аксиома пары равносильна высказыванию

<math>\forall a_1 \forall a_2 \exists ! c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b = a_1 \lor b = a_2)</math>, что есть <math>\forall a_1 \forall a_2 \exist c \forall c' \ (\forall b \ (b \in c' \leftrightarrow b = a_1 \lor b = a_2) \ \leftrightarrow c = c') </math>

Последнее высказывание позволяет утверждать следующее: «Из любых двух [одинаковых или разных] множеств можно образовать только одну „неупорядоченную пару“, то есть такое множество <math>c</math>, каждый элемент <math>b</math> которого идентичен данному множеству <math>a_1</math> или данному множеству <math>a_2</math>.»

3. Из аксиомы пары можно вывести теорему о существовании одноэлементного множества:

<math>\forall a \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b = a)</math>

См. также

• Аксиоматика теории множеств