Русская Википедия:Аксиомы Биркгофа

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Аксиомы Биркгофа — система из четырёх постулатов в евклидовой геометрии. Эти постулаты основаны на утверждениях, которые можно проверить, проводя измерения с помощью транспортира и линейки.

В формулировке постулатов используются вещественные числа. Поэтому система постулатов Биркгофа напоминает введение евклидовой геометрии при помощи модели.

История

Предложена Джорджем Биркгофом. Биркгоф участвовал в написании школьного учебника с использованием этой системы аксиом. Эта система повлияла на систему аксиом, разработанную Шаблон:Нп1 для американской школы.

Несколько более поздних книг по основаниям геометрии, книги , и использует аксиоматику, близкую к Биркгофовской.

Постулаты

Постулат I: Множество точек {A, B, …} на любой прямой допускает биекцию на вещественные числа {a, b, … }, так что

<math>|b-a| =d(A,B)</math>

для всех точек A и B.

Постулат II: Существует одна и только одна прямая ℓ, которая содержит любые две различные точки Р и Q.

Постулат III: Множество лучей {ℓ,m, n,…} с началом в любой точке O допускает биекцию на множество вещественных чисел по модулю 2π так, что если A и B — точки (отличные от О) на лучах ℓ и m соответственно, то <math>a_m-a_\ell\equiv \angle AOB\pmod{2\cdot\pi}</math>. Кроме того, если точка B на m двигается непрерывно вдоль прямой р, не содержащей вершину О, то число a_m также меняется непрерывно.

Постулат IV. Предположим, два треугольника <math>ABC</math> и <math>A'B'C'</math> таковы, что <math>d(A',B') =k\cdot d(A, B)</math>, <math>d(A',C')=k\cdot d(A,C)</math> для некоторого вещественного числа <math> k > 0</math> и <math>\angle B'A'C'=\pm\angle BAC \pmod {2{\cdot}\pi}</math>, тогда <math>d(B',C')=k\cdot d(B,C)</math>, <math>\angle A'C'B'=\pm\angle ACB \pmod {2{\cdot}\pi}</math> и <math>\angle C'B'A'=\pm\angle CBA \pmod {2{\cdot}\pi}</math>.

См. также

• Аксиоматика Гильберта
• Аксиоматика Александрова
• Евклидова геометрия