Изначально Пеано постулировал девять аксиом. Первая утверждает существование по меньшей мере одного элемента множества чисел. Следующие четыре — общие утверждения о равенстве, отражающие внутреннюю логику аксиоматики и исключённые из современного состава аксиом, как очевидные. Следующие три — аксиомы на языке логики первого порядка о выражении натуральных чисел через фундаментальное свойство функции следования. Девятая и последняя аксиома на языке логики второго порядка — о принципе математической индукции над рядом натуральных чисел. Арифметика Пеано — система, получаемая заменой аксиомы индукции системой аксиом на языке логики первого порядка и добавлением символов операций сложения и умножения.
Число, следующее за натуральным, тоже является натуральным;
1 не следует ни за каким натуральным числом;
Если натуральное число <math>a</math> непосредственно следует как за числом <math>b</math>, так и за числом <math>c</math>, то <math>b</math> и <math>c</math> тождественны;
(Аксиома индукции.) Если какое-либо предположение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа <math>n</math>, вытекает, что оно верно для следующего за <math>n</math> натурального числа (индукционное предположение), то это предположение верно для всех натуральных чисел.Файл:Аксиомы Пеано.pngИсходя из аксиом Пеано, запрещено ветвление и замыкание графа натуральных чисел
Математическая
Математическая формулировка использует Шаблон:Iw <math>S(x)</math>, которая сопоставляет числу <math>x</math> следующее за ним число.
Последнее утверждение может быть сформулировано так: если некоторое высказывание <math>P</math> верно для <math>n=1</math> (база индукции) и для любого <math>n</math> из верности <math>P(n)</math> следует верность и <math>P(S(n))</math> (индукционное предположение), то <math>P(n)</math> верно для любых натуральных <math>n</math>.
Формализация арифметики
Формализация арифметики включает в себя аксиомы Пеано, а также вводит операции сложения и умножения с помощью следующих аксиом:
<math>x+1=S(x)</math>;
<math>x_1+S(x_2)=S(x_1+x_2)</math>;
<math>x \cdot 1=x</math>;
<math>x_1 \cdot S(x_2)=x_1 \cdot x_2+x_1</math>.
Неполнота
Как следует из теоремы Гёделя о неполноте, существуют утверждения о натуральных числах, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, исходя из аксиом Пеано.
Некоторые такие утверждения имеют достаточно простую формулировку, например, теорема Гудстейна или теорема Париса — Харрингтона.
Категоричность
Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначно определяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). А именно, можно доказать (см.[1], а также краткое доказательство[2]), что если <math>(\mathbb N, 1, S)</math> и <math>(\tilde {\mathbb N},\tilde 1, \tilde S)</math> — две модели для системы аксиом Пеано, то они необходимо изоморфны, то есть существует обратимое отображение (биекция) <math>f \colon\mathbb N\to\tilde{\mathbb N}</math> такая, что <math>f(1) = \tilde 1</math> и <math>f(S(x)) = \tilde S(f(x))</math> для всех <math>x\in\mathbb N</math>.
Поэтому достаточно зафиксировать в качестве <math>\mathbb N</math> какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел.
Например, из аксиомы индукции вытекает, что к любому натуральному числу можно перейти от <math>1</math> за конечное число шагов (с помощью функции <math>S</math>). Для доказательства выберем в качестве предиката <math>P(n)</math> само это утверждение «к числу <math>n</math> можно перейти от <math>1</math> за конечное число шагов с помощью функции <math>S</math>». Верно <math>P(1)</math>. Верно также <math>\Big(P(n)\Rightarrow P\big(S(n)\big)\Big)</math>, поскольку <math>S(n)</math> может быть получено из <math>n</math> при помощи одного применения операции <math>S</math> к числу, которое по предположению <math>P(n)</math> может быть получено из <math>1</math> за конечное число применений <math>S</math>. Согласно аксиоме индукции <math>\forall n(P(n))</math>.
История
Необходимость формализации арифметики не принималась всерьёз до появления работы Германа Грассмана, который показал в 1860-х, что многие факты в арифметике могут быть установлены из более элементарных фактов о функции следования и математической индукции. В 1881 году Чарльз Сандерс Пирс опубликовал свою аксиоматизацию арифметики натуральных чисел. Формальное определение натуральных чисел в 1889 году сформулировал итальянский математик Пеано, основываясь на более ранних построениях Грассмана, в своей книге «Основания арифметики, изложенные новым способом» (Шаблон:Lang-la). В 1888 году (за год до Пеано) практически в точности подобную аксиоматическую систему опубликовал Дедекинд[3]. Непротиворечивость арифметики Пеано en (Gentzen's consistency proof) в 1936 годуГенценом с помощью трансфинитной индукции до ординала <math>\epsilon_0.</math> Как следует из второй теоремы Гёделя о неполноте, это доказательство не может быть проведено средствами самой арифметики Пеано.
