Русская Википедия:Аксиомы отделимости
Аксиомы отделимости — наборы дополнительных требований, налагаемых на топологические пространства, позволяющие изучать ограниченные классы топологических пространств со свойствами в той или иной степени близкими к метрическим пространствам. На предположении выполнения аксиом отделимости основано применение такой техники математического доказательства, как принцип разделимости.
Аксиомы
Введено множество аксиом отделимости, наиболее широко используемых — шесть, обозначаемые соответственно T0, T1, T2, T3, T3½, T4 (от Шаблон:Lang-de); кроме того, иногда используются другие аксиомы и их вариации (R0, R1, T2½, T5, T6 и другие).
T0
T0 (аксиома Колмогорова): для любых двух различных точек <math>x</math> и <math>y</math> по крайней мере одна точка должна иметь окрестность, не содержащую вторую точку.
T1
T1 (аксиома Тихонова): для любых двух различных точек <math>x</math> и <math>y</math> должна существовать окрестность точки <math>x</math>, не содержащая точку <math>y</math>, и окрестность точки <math>y</math>, не содержащая точку <math>x</math>. Эквивалентное условие: все одноточечные множества замкнуты.
T2
T2 (аксиома Хаусдорфа, хаусдорфово пространство): для любых двух различных точек <math>x</math> и <math>y</math> должны найтись непересекающиеся окрестности <math>U(x)</math> и <math>V(y)</math>.
T3
T3: Для любого замкнутого множества и не содержащейся в нём точки существуют их непересекающиеся окрестности[1][2]. Эквивалентное условие: для любой точки <math>x</math> и её окрестности <math>U</math> существует окрестность <math>V</math>, такая, что <math>x\in V\subset\bar{V}\subset U</math>. Иногда в определение аксиомы отделимости T3 включают требования аксиомы отделимости T1.[3][4] Также иногда в определении регулярного пространства не включается требование аксиомы T1[2][4]. Регулярное пространство — пространство, удовлетворяющие аксиомам T1 и T3.
T3½
T3½: для любого замкнутого множества <math>F</math> и не содержащейся в нём точки <math>a</math> существует непрерывная (в данной топологии) числовая функция <math>f(x)</math>, заданная на этом пространстве, принимающая значения от <math>0</math> до <math>1</math> на всем пространстве, причем <math>f(a)=0</math> и <math>f(x)=1</math> для всех <math>x</math>, принадлежащих <math>F</math>. Пространства, удовлетворяющие аксиомам T1 и T3½ называются вполне регулярными пространствами или тихоновскими пространствами; при этом иногда выполнение T1 включают в определение T3½[5], а в определении вполне регулярного пространства не включает требование аксиомы T1 (тогда в определение тихоновского пространства она включается[2].
T4
T4: для любых двух замкнутых непересекающихся множеств существуют их непересекающиеся окрестности[1][2]. Эквивалентное условие: для любого замкнутого множества <math>F</math> и его окрестности <math>U</math> существует окрестность <math>V</math>, такая, что <math>F\subset V\subset\bar{V}\subset U</math> (<math>\bar{V}</math> — замыкание <math>V</math>). Нормальное пространство — пространства, удовлетворяющие T1 и T4[2][6]. Иногда в определение T4 включают требование выполнения T1[7][8], а в определении нормального пространства не включается требование T1[8].
Свойства
Некоторые соотношения аксиом отделимости и связанных с ними классов друг с другом:
- <math>T_0</math>, <math>T_1</math> и <math>T_2</math> не следуют из остальных аксиом (если в их определение не включается аксиома <math>T_1</math>);
- из <math>T_1</math> следует <math>T_0</math>;
- регулярные пространства являются хаусдорфовыми;
- вполне регулярные пространства являются регулярными;
- нормальные пространства являются также и вполне регулярными;
- компактные хаусдорфовы пространства являются нормальными.
Примечания
Литература
- О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев Задачный учебник по топологии
- Энгелькинг Р. Общая топология: Пер. с англ. — Шаблон:М: Мир, 1986. — 752 с.
- Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.
- Шаблон:Книга — статья из математической энциклопедии, автор — В. И. Зайцев