Русская Википедия:Алгебраическая независимость

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Алгебраическая независимость — понятие теории расширений полей.

Пусть <math>L</math> некоторое расширение поля <math>K</math>. Элементы <math>(\alpha_1, \ldots ,\alpha_n)</math> называются алгебраически независимыми, если для произвольного не равного тождественно нулю многочлена <math>P(x_1, \ldots ,x_n)</math> с коэффициентами из поля <math>K</math>

<math>P(\alpha_1, \dots ,\alpha_n) \ne 0</math>.

В другом случае элементы <math>(\alpha_1, \ldots ,\alpha_n)</math> называются алгебраически зависимыми. Бесконечное множество элементов называется алгебраически независимым, если независимым является каждое его конечное подмножество, и называется зависимым в противном случае. Определение алгебраической независимости можно распространить на случай, когда <math>L</math> — кольцо и <math>K</math> — его подкольцо.

Алгебраическая независимость известных констант

Пусть константы <math>e</math> и <math>\pi</math> известны как трансцендентные, однако неизвестно, является ли их множество алгебраически независимым над <math>\mathbb{Q}</math>. Неизвестно даже, иррационально ли <math>\pi + e</math>. Нестеренко доказал в 1996 году, что:

• числа <math>\pi</math>, <math>e^{\pi}</math> и <math>\Gamma(1/4)</math> алгебраически независимы над <math>\mathbb{Q}</math>;
• числа <math>e^{\pi\sqrt{3}}</math> и <math>\Gamma(1/3)</math> алгебраически независимы над <math>\mathbb{Q}</math>;
• для всех положительных целых чисел <math>n</math>, число <math>e^{\pi\sqrt{n}}</math> алгебраически независимы над <math>\mathbb{Q}</math>;

Пример

Подмножество <math>\{ \sqrt {\pi};2\pi +1 \}</math> поля вещественных чисел <math>\R</math> не является алгебраически независимым над полем <math>\Q</math>, поскольку многочлен <math>P(x_1,x_2)=2x^2_1-x_2+1</math> является нетривиальным с рациональными коэффициентами и <math>P(\sqrt {\pi},2\pi +1)=0</math>.

См. также

• Теорема Линдемана — Вейерштрасса

Ссылки

• Шаблон:MathWorld