Русская Википедия:Алгебраическая теория чисел

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Алгебраическая теория чисел — раздел теории чисел, основная задача которого — изучение свойств целых элементов числовых полей.

В алгебраической теории чисел понятие числа расширяется, в качестве алгебраических чисел рассматривают корни многочленов с рациональными коэффициентами. При этом аналогом целых чисел выступают целые алгебраические числа, то есть корни унитарных многочленов с целыми коэффициентами. В отличие от целых чисел в кольце целых алгебраических чисел не обязательно выполняется свойство факториальности, то есть единственности разложения на простые множители.

Теория алгебраических чисел обязана своим появлением изучению диофантовых уравнений и в том числе попыткам доказать великую теорему Ферма. Куммеру принадлежит равенство

<math>x^n=z^n-y^n=\prod^{n}_{i=1}(z-a_i y)</math>, где <math>a_i</math> — корни степени <math>n</math> из единицы.

Таким образом Куммер определил новые целые числа вида <math>z+a_i y</math>. Позднее Лиувилль показал, что если алгебраическое число является корнем уравнения степени <math>n</math>, то к нему нельзя подойти ближе чем на <math>Q^{-n}</math>, приближаясь дробями вида <math>P/Q</math>, где <math>P</math> и <math>Q</math> — целые взаимно простые числа.

После определения алгебраических и трансцендентных чисел в алгебраической теории чисел выделилось направление, которое занимается доказательством трансцендентности конкретных чисел, и направление, которое занимается алгебраическими числами и изучает степень их приближения рациональными и алгебраическими.

Алгебраическая теория чисел включает в себя такие разделы, как теорию дивизоров, теорию Галуа, теорию полей классов, дзета- и L-функции Дирихле, Шаблон:Нп5 и многое другое.Шаблон:Нет АИ

Одним из основных приёмов является вложение поля алгебраических чисел в своё пополнение по какой-то из метрик — архимедовой (например, в поле вещественных или комплексных чисел) или неархимедовой (например, в поле p-адических чисел).

Литература

• Шаблон:Книга // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.