Русская Википедия:Алгебраическая функция

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Достоверность статьи под сомнением Алгебраическая функция — элементарная функция, которая в окрестности каждой точки области определения может быть неявно задана с помощью алгебраического уравнения.

Формальное определение:

Функция <math>F(x_1, x_2, \ldots, x_n)</math> называется алгебраической в точке <math>A=(a_1, a_2, \ldots, a_n)</math>, если существует окрестность точки <math>A</math>, в которой верно тождество

<math>P( F(x_1, x_2, \ldots, x_n), x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0.</math>

где <math>P</math> есть многочлен от <math>n+1</math> переменной.

Функция называется алгебраической, если она является алгебраической в каждой точке области определения.

Например, функция действительного переменного <math>F(x) = \sqrt{1-x^2}</math> является алгебраической на интервале <math>(-1,1)</math> в поле действительных чисел, так как она удовлетворяет уравнению

<math>F^2 + x^2 = 1.</math>

Существует аналитическое продолжение функции <math>F(x) = \sqrt{1-x^2}</math> на комплексную плоскость, с вырезанным отрезком <math>[-1, 1]</math> или с двумя вырезанными лучами <math>(-\infty, -1]</math> и <math>[1,\infty)</math>. В этой области полученная функция комплексного переменного является алгебраической и аналитической.

Известно, что если функция является алгебраической в точке, то она является и аналитической в данной точке. Обратное неверно. Функции, являющиеся аналитическими, но не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными.

Частные случаи

Частными случаями алгебраических функций являются:

• степенная функция;
• рациональная функция;

Алгебраические и трансцендентные числа

Шаблон:Main Действительные числа, которые являются корнем какого-то алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами, называются алгебраическими. Действительные числа, которые не являются корнем никакого алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами, называются трансцендентными.

Все рациональные числа являются алгебраическими. Среди иррациональных чисел есть как алгебраические, так и трансцендентные. Например, <math>\sqrt{2}</math> — алгебраическое иррациональное число, а <math>\pi</math> — трансцендентное иррациональное число.

См. также

• Аналитическая функция
• Трансцендентная функция

Литература

• Шаблон:Книга