Русская Википедия:Алгебраически замкнутое поле
Шаблон:Другие значения термина Алгебраически замкнутое поле — поле <math>\mathbb K</math>, в котором всякий многочлен ненулевой степени над <math>\mathbb K</math> имеет хотя бы один корень.
Для любого поля существует единственное с точностью до изоморфизма его алгебраическое замыкание, то есть его алгебраическое расширение, являющееся алгебраически замкнутым. При этом существование алгебраического замыкания существенно зависит от аксиомы выбора: существуют модели теории множеств без аксиомы выбора, где есть поля, не обладающие алгебраическим замыканием.
Свойства
- В алгебраически замкнутом поле <math>\mathbb K</math> каждый многочлен степени <math>n</math> имеет ровно <math>n</math> (с учётом кратности) корней в <math>\mathbb K</math>. Иначе говоря, каждый неприводимый многочлен из кольца многочленов <math>\mathbb K[x]</math> имеет степень <math>1</math>. См. также теорема Безу.
- Конечные поля не могут быть алгебраически замкнутыми. Действительно, можно рассмотреть многочлен <math>x^m-x</math>, где <math>m</math> — количество элементов поля. Корнями данного многочлена являются все элементы поля. Если к нему прибавить <math>1</math>, то полученный многочлен не будет иметь корней.
- Алгебраическим замыканием поля <math>\mathbb K</math> в его расширении <math>\mathbb K'</math> называется поле всех алгебраических над <math>\mathbb K</math> элементов <math>\mathbb K'</math>. Алгебраическое замыкание поля в алгебраически замкнутом поле является алгебраически замкнутым, и более того, его алгебраическим замыканием.
- Алгебраическим замыканием поля вещественных чисел является поле комплексных чисел. Его алгебраическая замкнутость устанавливается основной теоремой алгебры.
- Алгебраическим замыканием поля рациональных чисел является поле алгебраических чисел.
- Алгебраическим замыканием конечного поля <math>\mathbb {F}_{p^k}</math> является поле <math>\mathbb {F}_{p^\infty}</math>.
- Алгебраическое замыкание поля рациональных дробей <math>\mathbb K(X)</math> называется полем алгебраических функций. Элементы такого поля функциями в обычном смысле не являются, однако такое название довольно часто встречается в литературе.
- Поле арифметических чисел алгебраически замкнуто.
Конструкция
Одна из возможных конструкций алгебраического замыкания для произвольного поля была построена Эмилем Артином.
Пусть задано поле <math>\mathbb K</math>. Требуется построить алгебраическое замыкание этого поля.
Определим <math>F \subset \mathbb{K}[x]</math> как множество всех неприводимых многочленов над полем <math>\mathbb K</math>. Каждому многочлену поставим в соответствие переменную <math>x_f</math>. Обозначим за <math>X</math> множество всех таких переменных <math>X=\{x_f|f\in F\}</math>. Образуем кольцо многочленов <math>\mathbb{K}[X]</math>. Можно показать, что идеал <math>I</math>, порождённый всеми многочленами вида <math>f(x_f)</math>, не является единичным. Тогда мы можем перейти к максимальному идеалу <math>I'</math>, содержающему идеал <math>I</math> (здесь мы пользуемся аксиомой выбора), и получить поле <math>\mathbb{K_1}=\mathbb{K}[X]/I'</math>. Если отождествить многочлены-константы с элементами основного поля, то получаем <math>\mathbb{K} \subset \mathbb{K_1}</math>.
На поле <math>\mathbb{K_1}</math> можно смотреть как на поле, полученное присоединением к полю <math>\mathbb K</math> по одному корню каждого неприводимого многочлена. Чтобы присоединить остальные корни, необходимо повторять эту конструкцию. Повторим её для поля <math>\mathbb{K_1}</math> и получим поле <math>\mathbb{K_2}</math>. Повторяя это <math>n</math> раз можно получить поле <math>\mathbb{K_n}</math>. Таким образом, мы имеем башню полей:
- <math>\mathbb{K} \subset \mathbb{K_1} \subset \mathbb{K_2} \subset \ldots \subset \mathbb{K_n} \subset \mathbb{K_{n+1}} \subset \ldots</math>
Объединение всех этих полей даст поле <math>\mathbb{K_{\infty}}=\bigcup_{n=0}^\infty \mathbb{K_n}</math>. Алгебраическая замкнутость этого поля очевидна.[1]
См. также
Примечания
Шаблон:Algebra-stub
Шаблон:Нет ссылок
- ↑ Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.
