Русская Википедия:Алгебраическое дополнение

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Алгебраическим дополнением элемента <math>\ a_{ij}</math> матрицы <math>\ A</math> называется число

<math>\ A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}</math>,

где <math>\ M_{ij}</math> — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы <math>\ A</math> путём вычёркивания i-й строки и j-го столбца.

Свойства

Алгебраическое дополнение элемента — это коэффициент, с которым этот самый элемент входит в определитель матрицы. Это утверждается следующей теоремой:

Теорема (о разложении определителя по строке/столбцу). Определитель матрицы <math>A</math> может быть представлен в виде суммы

<math> \det A=\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}=\sum_{i=1}^n a_{ij}A_{ij}</math>

Для алгебраического дополнения справедливо следующее утверждение:

Лемма о фальшивом разложении определителя. Сумма произведений элементов одной строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (соответственно столбца) равна нулю, то есть <math>\ \sum_{j=1}^n a_{i_1 j}A_{i_2 j}=\sum_{i=1}^n a_{i j_1}A_{i j_2}=0</math> при <math>i_1\neq i_2</math> и <math>j_1\neq j_2</math>.

Из этих утверждений следует алгоритм нахождения обратной матрицы:

• заменить каждый элемент исходной матрицы на его алгебраическое дополнение,
• транспонировать полученную матрицу — в результате будет получена союзная матрица,
• разделить каждый элемент союзной матрицы на определитель исходной матрицы.

См. также

• Минор
• Дополнительный минор
• Определитель