Русская Википедия:Алгебраическое уравнение
Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение, многочленное уравнение) — уравнение вида
- <math>P(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0,</math>
где <math>P</math> — многочлен от переменных <math>x_1, \ldots, x_n</math>, которые называются неизвестными.
Коэффициенты многочлена <math>P</math> обычно берутся из некоторого поля <math>{F}</math>, и тогда уравнение <math>P(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0</math> называется алгебраическим уравнением над полем <math>{F}</math>.
Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена <math>P</math>.
Например, уравнение
- <math>y^4 + \frac{xy}{2} + y^2z^5 + x^3 - xy^2 + 3 x^2 - 1 = 0</math>
является алгебраическим уравнением 7-й степени от 3 переменных (с 3 неизвестными) над полем вещественных чисел.
Связанные определения
Значения переменных <math>x_1, \ldots, x_n</math>, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.
Методы решения уравнений
Математические методы
Выделяются следующие наиболее общие методы:
- Метод разложения на множители.
- Метод введения новой переменной[1]. Суть метода введения новой переменной заключается в том, что путём замены некоторого входящего в уравнение выражения, содержащего переменную, в исходном уравнении либо понижается степень, либо от дробного переходят к целому уравнению, либо иррациональное уравнение сводят к рациональному, то есть исходное уравнение сводится к простейшему.
Способы реализации (приемы решения уравнений):- явная замена (то есть замена очевидна);
- использование основного свойства дроби;
- выделение квадрата двучлена.
- переход к системе.
- раскрытие множителей парами.
- раскрытие множителей парами и деление обеих частей уравнения.
- сведение к однородному уравнению.
- тригонометрическая подстановка.
- возвратные и симметричные (или симметрические) уравнения.
- Метод перехода. Суть метода: переход от равенства, связывающего функции, к равенству, связывающему аргументы.
- Функционально-графический метод
Примеры алгебраических уравнений
- Алгебраическое уравнение с одним неизвестным — уравнение вида <math>a_0x^n + a_1x^{n-1} + \ldots + a_n = 0,</math> где <math>n</math> — натуральное число.
- Линейное уравнение
- от одной переменной: <math>ax + b = 0, \quad a \ne 0.</math>
- от нескольких переменных: <math>a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n + b = 0.</math>
- Квадратное уравнение
- от одной переменной: <math>ax^2 + bx + c = 0, \quad a \ne 0.</math>
- Кубическое уравнение
- от одной переменной: <math>ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, \quad a \ne 0.</math>
- Уравнение четвёртой степени
- от одной переменной: <math>ax^4+bx^3+cx^2+dx+e = 0, \quad a \neq 0.</math>
- Уравнение пятой степени
- от одной переменной: <math>ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f = 0, \quad a \neq 0.</math>
- Уравнение шестой степени
- от одной переменной: <math>ax^6 + bx^5 + cx^4 + dx^3 + ex^2 + fx + g = 0, \quad a \neq 0.</math>
- Возвратное уравнение — алгебраические уравнения вида: <math>a_{n}x^{n} + a_{n - 1}x^{n - 1} + \ldots +a_{1}x + a_0 = 0,</math> коэффициенты которых, стоящие на симметричных относительно середины позициях, равны, то есть если <math>a_{n - k} = a_k,</math>, при <math>k = 0, 1, \ldots, n</math>.
См. также
Примечания
Ссылки
Шаблон:Вс Шаблон:Полиномиальные уравнения Шаблон:Rq
