Русская Википедия:Алгебра Валя
Алгебра Валя (или Алгебра Валентины) — неассоциативная алгебра M над полем F, в которой бинарная мультипликативная операция подчиняется следующим аксиомам:
1. Условию антисимметричности:
- <math>g (A, B) =-g (B, A) </math>
для всех <math>A,B \in M</math>.
2. Тождеству Валентины:
- <math> J (g (A_1, A_2), g (A_3, A_4), g (A_5, A_6)) =0 </math>
для всех <math>A_k \in M</math>, где k=1,2,…,6, и
<math> J (A, B, C):= g (g (A, B), C)+g (g (B, C), A)+g (g (C, A), B). </math>
3. Условию билинейности:
- <math> g(aA+bB,C)=ag(A,C)+bg(B,C) </math>
для всех <math>A,B,C \in M</math> и <math>a,b \in F</math>.
Можно сказать, что M является алгеброй Валентины, если коммутант этой алгебры является лиевой подалгеброй. Любая алгебра Ли является алгеброй Валентины.
Билинейная мультипликативная операция в алгебре Валентины, так же как в алгебре Ли, не является ассоциативной операцией.
Существует следующая взаимосвязь между коммутантно-ассоциативной алгеброй и алгеброй Валя. Замена умножения g(A,B) в алгебре M операцией коммутирования [A,B]=g(A,B)-g(B,A), превращает её в алгебру <math>M^{(-)}</math>. При этом, если M является коммутантно-ассоциативной алгеброй, то <math>M^{(-)}</math> будет алгеброй Валя. Алгебра Валя является обобщением алгебры Ли, которая является частным примером алгебры Валентины.
Алгебры Валя могут быть использованы для описания диссипативных и негамильтоновых квантовых систем.
Примеры алгебры Валентины
(1) Любая конечная алгебра Валя является касательной алгеброй аналитических локальных коммутантно-ассоциативных луп (луп Валя), аналогично тому как конечные алгебры Ли являются касательными алгебрами аналитических локальных групп (групп Ли). Это утверждение является аналогом соответствия между аналитическими локальными группами (группами Ли) и алгебрами Ли.
(2) Билинейная операция для дифференциальных 1-форм
- <math> \alpha=F_k(x)\, dx^k , \quad \beta=G_k(x)\, dx^k </math>
на симплектическом многообразии, определяемая по правилу
- <math> (\alpha,\beta)_0=d \Psi(\alpha,\beta)+ \Psi(d\alpha,\beta)+\Psi(\alpha,d\beta),</math>
где <math>(\alpha,\beta)</math> — 1-форма. Эта билинейная операция на множестве незамкнутых 1-форм задает алгебру Ли.
Если <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> являются замкнутыми 1-формами, то <math>d\alpha=d\beta=0</math> и
- <math> (\alpha,\beta)=d \Psi(\alpha,\beta).</math>
Эта билинейная операция на множестве замкнутых 1-форм задает алгебру Ли.
Эта билинейная операция на множестве незамкнутых дифференциальных 1-форм задает уже не алгебру Ли, а алгебру Валентины, которая не является алгеброй Ли.
См. также
- Общая алгебра
- Алгебра Мальцева
- Альтернативная алгебра
- Коммутантно-ассоциативная алгебра
- Алгебра Ли
- Группа Ли
Литература
- A. Elduque, H. C. Myung Mutations of alternative algebras, Kluwer Academic Publishers, Boston, 1994, ISBN 0-7923-2735-7
- V.T. Filippov (2001), «Mal’tsev algebra», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 Шаблон:Wayback
- M.V. Karasev, V.P. Maslov, Nonlinear Poisson Brackets: Geometry and Quantization. American Mathematical Society, Providence, 1993.
- A.G. Kurosh, Lectures on general algebra. Translated from the Russian edition (Moscow, 1960) by K. A. Hirsch. Chelsea, New York, 1963. 335 pp. ISBN 0-8284-0168-3 ISBN 978-0-8284-0168-5
- A.G. Kurosh, General algebra. Lectures for the academic year 1969/70. Nauka, Moscow,1974. (In Russian)
- A.I. Mal’tsev, Algebraic systems. Springer, 1973. (Translated from Russian)
- A.I. Mal’tsev, Analytic loops. Mat. Sb., 36 : 3 (1955) pp. 569–576 (In Russian)
- Шаблон:Книга
- V.E. Tarasov Quantum Mechanics of Non-Hamiltonian and Dissipative Systems. Elsevier Science, Amsterdam, Boston, London, New York, 2008. Шаблон:Wayback ISBN 0-444-53091-6 ISBN 978-0-444-53091-2
- V.E. Tarasov, «Quantum dissipative systems: IV. Analogues of Lie algebras and groups» Шаблон:Wayback // Theoretical and Mathematical Physics. Vol.110. No.2. (1997) pp.168-178.]
- Zhevlakov, K.A. (2001), «Alternative rings and algebras», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 Шаблон:Wayback
