Русская Википедия:Алгебра Дэффина — Кеммера — Петье
Алгебра Дэффина — Кеммера — Петье (ДКП — алгебра) — алгебра, образуемая матрицами Дэффина — Кеммера — Петье. В математической физике матрицы Дэффина — Кеммера — Петье используются в уравнении Даффина — Кеммера — Петье, служащим для релятивистски-инвариантного описания элементарных частиц со спином 0 и спином 1 в стандартной модели. ДКП-алгебра также называется «мезонной алгеброй»[1]. Введена в науку Шаблон:Не переведено 5, Н. Кеммером и Д. Петье.
Определения
Матрицы Дэффина — Кеммера — Петье определяются посредством уравнения[2]:
- <math>\beta^{a} \beta^{b} \beta^{c} + \beta^{c} \beta^{b} \beta^{a} = \beta^{a} \eta^{b c} + \beta^{c} \eta^{b a}\,,</math>
где <math>\eta^{a b}</math> — состоящая из констант диагональная матрица. Матрицы Дэффина — Кеммера — Петье <math>\beta</math>, для которых <math>\eta^{a b}</math> состоят из диагональных элементов (+1,-1,…,-1), используются в уравнении Дэффина-Кеммера-Петье. Пятимерные ДКП-матрицы могут быть представлены как[3][4]:
- <math>
\beta^{0} = \begin{pmatrix} 0&1&0&0&0\\ 1&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix} </math>, <math>\quad \beta^{1} = \begin{pmatrix} 0&0&-1&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 1&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix} </math>, <math>\quad \beta^{2} = \begin{pmatrix} 0&0&0&-1&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 1&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix} </math>, <math>\quad \beta^{3} = \begin{pmatrix} 0&0&0&0&-1\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 1&0&0&0&0 \end{pmatrix}\,. </math> Эти пятимерные ДКП-матрицы используются для релятивистски-инвариантного представления элементарных частиц со спином 0. Для частиц со спином 1 используются 10-мерные ДКП-матрицы[3]. ДКП-алгебра может быть сведена к прямой сумме неприводимых подалгебр для бозонов со спином 0 и спином 1, причем подалгебры определяются правилами умножения для линейно независимых базисных элементов[5].
Уравнение Дэффина — Кеммера — Петье
Уравнением Дэффина — Кеммера — Петье (ДКП-уравнением, уравнением Кеммера) называется релятивистское волновое уравнение, которое служит для описания элементарных частиц со спином 0 и 1 в стандартной модели. Для элементарных частиц с ненулевой массой ДКП-уравнение имеет вид[2]
- <math>(i \hbar \beta^{a} \partial_a - m c) \psi = 0\,,</math>
где <math>\beta^{a}</math> — матрицы Дэффина — Кеммера — Петье, <math>m</math> — масса частицы, <math>\psi</math> — её волновая функция, <math>\hbar</math> — постоянная Планка, <math>c</math> — скорость света. Для безмассовых частиц, член <math>m c</math> заменяется сингулярной матрицей <math>\gamma</math> которая подчиняется уравнениям <math>\beta^{a} \gamma + \gamma \beta^{a} = \beta^{a}</math> и <math>\gamma^2 = \gamma</math>.
ДКП-уравнение для частиц со спином 0 тесно связано с уравнением Клейна — Гордона[4][6] и уравнение для частиц со спином 1 с уравнением Прока[7]. Оно страдает тем же недостатком, что и уравнение Клейна-Гордона, поскольку требует отрицательной вероятности[4]. Также Шаблон:Не переведено 5 могут быть сформулированы в терминах ДКП-матриц[8].
История
Алгебра Дэффина — Кеммера — Петье была введена в науку в 1930-х годах Р. Дэффином[9], Н. Кеммером[10] и Д. Петье[11],
Дальнейшее чтение
- M. C. B. Fernandes, J. D. M. Vianna: On the generalized phase space approach to Duffin-Kemmer-Petiau particles, Foundations of Physics, vol. 29, no. 2, pp. 201—219, 1999, Шаблон:Doi(abstract)
- Marco Cezar B. Fernandes, J. David M. Vianna: On the Duffin-Kemmer-Petiau algebra and the generalized phase space, Brazilian Journal of Physics, vol. 28 n. 4, São Paulo, December 1998, ISSN 0103-9733, Шаблон:Doi (full text Шаблон:Wayback)
- Pavel Winternitz et al. (eds.): Symmetry in physics: in memory of Robert T. Sharp, CRM Proceedings and Lecture Notes, 2004, Шаблон:ISBN, section «Bhabha and Duffin-Kemmer-Petiau equations: spin zero and spin one», p. 50 ff.
- V. Ya. Fainberg, B. M. Pimentel: Duffin-Kemmer-Petiau and Klein-Gordon-Fock Equations for Electromagnetic, Yang-Mills and external Gravitational Field Interactions: proof of equivalence, hep-th/0003283, submitted 30. March 2000
Примечания
- ↑ Jacques Helmstetter, Artibano Micali: About the Structure of Meson Algebras, Advances in Applied Clifford Algebras, vol. 20, no. 3-4, pp. 617—629, Шаблон:Doi, abstract
- ↑ 2,0 2,1 См. вводную главу: Ю. В. Павлов: Duffin-Kemmer-Petiau equation with nonminimal coupling to curvature, Gravitation & Cosmology, vol. 12 (2006), no.2-3, pp. 205—208
- ↑ 3,0 3,1 See for example I. Boztosun, M. Karakoc, F. Yasuk, A. Durmus: Asymptotic Iteration Method Solutions to the Relativistic Duffin-Kemmer-Petiau Equation, Journal of Mathematical Physics vol. 47, 062301 (2006), Шаблон:Doi, arXiv: math-ph/0604040v1 (submitted 18 April 2006) [1]
- ↑ 4,0 4,1 4,2 Anton Z. Capri: Relativistic quantum mechanics and introduction to quantum field theory, World Scientific, 2002, Шаблон:ISBN, https://books.google.com/books?id=tTJHB5hepQUC&pg=PA25 p. 25]
- ↑ Ephraim Fischbach, Michael Martin Nieto, C. K. Scott: Duffin Kemmer Petiau subalgebras: Representations and applications, (Journal of Mathematical Physics, vol. 14, no. 12, 1760 (1973),Шаблон:Doi (abstractШаблон:Webarchive)
- ↑ R. Casana, V.Ya. Fainberg, J.T. Lunardi, R.G. Teixeira, B.M. Pimentel: Massless DKP fields in Riemann-Cartan space-timesШаблон:Dead link, arXiv: gr-qc/0209083v2 (submitted 23 September 2002, version of 12 March 2003)
- ↑ Sergey Kruglov: Symmetry and electromagnetic interaction of fields with multi-spin. A Volume in Contemporary Fundamental Physics, Шаблон:ISBN, 2000, p. 26 Шаблон:Wayback
- ↑ Igor V. Kanatchikov: On the Duffin-Kemmer-Petiau formulation of the covariant Hamiltonian dynamics in field theory Шаблон:Wayback, hep-th/9911/9911175v1 (submitted 23. November 1999)
- ↑ R.J. Duffin: On The Characteristic Matrices of Covariant Systems, Phys. Rev. Lett., vol. 54, 1114 (1938), Шаблон:Doi
- ↑ N. Kemmer: The particle aspect of meson theory Шаблон:Wayback, Proceedings of the Royal Society A, vol. 173, pp. 91-116 (1939), Шаблон:Doi
- ↑ G. Petiau, University of Paris thesis (1936), published in Acad. Roy. de Belg., A. Sci. Mem. Collect.vol. 16, N 2, 1 (1936)
