Русская Википедия:Алгебра Клиффорда
Алгебра Клиффорда — специального вида ассоциативная алгебра с единицей <math>Cl(E, Q(,))</math> над некоторым коммутативным кольцом <math>K</math> (<math>E</math> — векторное пространство или, более общо, свободный <math>K</math>-модуль) с некоторой операцией [«умножения»], совпадающей с заданной на <math>E</math> билинейной формой <math>Q</math>.
Смысл конструкции состоит в ассоциативном расширении пространства E⊕K и операции умножения на нём так, чтобы квадрат последней совпал с заданной квадратичной формой Q. Впервые рассмотрена Клиффордом. Алгебры Клиффорда обобщают комплексные числа, паракомплексные числа и дуальные числа, также бикомплексные числа, кватернионы и т.п.: их семейство исчерпывающе охватывает все ассоциативные гиперкомплексные числа.
Формальное определение
Пусть <math>K</math> — коммутативное кольцо с единицей, <math>E</math> — свободный K-модуль, <math>Q</math> — квадратичная форма на <math>E</math>. Алгеброй Клиффорда квадратичной формы <math>Q</math> (или пары <math>(E, Q)</math>) называется факторалгебра <math>Cl(E, Q)</math> тензорной алгебры <math>T(E)</math>, <math>K</math>-модуля <math>E</math> по двустороннему идеалу, порождённому элементами вида
- <math>x \otimes x - Q(x)1,~~x\in E</math>
Элементы (векторы) из <math>E</math>, являясь тензорами ранга 1, рассматриваются также и как элементы <math>Cl(Q)</math>, причём соответственное отображение является мономорфизмом (вложением) модулей:
- <math>E \hookrightarrow Cl(Q)</math>.
Комментарий
Если <math>K</math> есть поля вещественных либо комплексных чисел, тогда <math>E</math> — линейное пространство, а в качестве <math>Q(,)</math> используется присущее такому пространству скалярное произведение.
Свойства
- Основное тождество алгебр Клиффорда: если характеристика кольца K не равна двум, то для любых <math>x, y \in E</math>:
- <math> xy + yx = 2 \left\langle x,y\right\rangle</math>
- где <math>\left\langle ,\right\rangle</math> — симметричная билинейная форма, соответствующая квадратичной форме Q:
- <math>\left\langle x,y\right\rangle := \tfrac{1}{2}\left( Q(x+y)-Q(x)-Q(y) \right)</math>.
- выражение <math>[x, y]:=xy + yx </math> называется антикоммутатором <math>x </math> и <math>y</math>.
- Для нулевой квадратичной формы <math>Q</math> алгебра <math>Cl(E,Q)</math> совпадает со внешней алгеброй <math>\Lambda(E)</math> <math>K</math>-модуля <math>E</math>.
- Пусть <math>e_1,e_2,\dots,e_n</math> — некоторый базис <math>K</math>-модуля <math>E</math>, тогда элементы вида
- <math>1, e_{j_1}e_{j_2}\dots e_{j_k}\ (j_1<\dots<j_k,</math> для всех k от 1 по n) или, иначе: <math>e_1^{\sigma_1}e_2^{\sigma_2}\dots e_n^{\sigma_n}</math> где <math>\sigma_j = 0,1</math> образуют базис <math>K</math>-модуля <math>Cl(Q)</math>. В частности, <math>Cl(Q)</math> является свободным <math>K</math>-модулем ранга (размерности) <math>2^n</math>
- Если, кроме того, <math>e_1,e_2,\dots,e_n</math> ортогональны относительно <math>Q</math>, то <math>Cl(Q)</math> можно задать как <math>K</math>-алгебру с образующими <math>1, e_1,e_2,\dots,e_n</math> и определяющими соотношениями <math>e_i e_j + e_j e_i = 0</math>, (<math>i\not=j</math>) и <math>e_i^2= Q(e_i,e_i)</math>.
- Алгебра Клиффорда обладает Z2-градуировкой. В частности, подмодуль в <math>Cl(Q)</math>, порождённый произведениями чётного числа элементов из <math>E</math>, образует подалгебру в <math>Cl(Q)</math>, которая обозначается через <math>Cl^+(Q)</math>.
- Пусть <math>K</math> — поле и квадратичная форма <math>Q(,)</math> невырождена
- тогда при чётном n алгебра <math>Cl(Q)</math> является центральной простой алгеброй над <math>K</math> размерности <math>2^n</math>, подалгебра <math>Cl^+(Q)</math> сепарабельна, а её центр имеет размерность 2 над <math>K</math>.
- Если <math>K</math> алгебраически замкнуто, то
- при чётном n <math>Cl(Q)</math> — матричная алгебра, a <math>Cl^+(Q)</math> — произведение двух матричных алгебр,
- при нечётном n, наоборот, <math>Cl^+(Q)</math> — матричная, а <math>Cl(Q)</math> — произведение двух матричных алгебр.
Матричные представления алгебр Клиффорда
Уравнение Дирака — важный пример применения представлений CL_3,1(ℝ), которые впервые изучены Этторе Майораной.
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Citation (см. Шаблон:Wayback)
- Ian R. Porteous «Clifford algebras and the classical groups» Cambridge, CUP, 1995. ISBN=978-0-521-55177-9
- R. Jagannathan (2010), «On generalized Clifford algebras and their physical applications Шаблон:Wayback»
