Русская Википедия:Алгебра Кэли
А́лгебра Кэ́ли — система гиперкомплексных чисел, 8-мерная алгебра над полем вещественных чисел. Обычно обозначается <math>\mathbb{O}</math>, поскольку её элементы (числа Кэли) называются иногда октонионами или октавами.
Впервые рассмотрена в 1843 году Шаблон:Iw, приятелем[1] Уильяма Гамильтона, а двумя годами позже — независимо Артуром Кэли.
Число Кэли — это линейная комбинация элементов <math>\{1, i, j, k, l, il, jl, kl\}</math>. Каждая октава <math>x</math> может быть записана в форме:
- <math>x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl</math>
с вещественными коэффициентами <math>x_i</math>. Октонионы находят применение в физике, в частности, в специальной теории относительности и теории струн[2].
Таблицы умножения
Таблица умножения элементов октавы:
| 1 | i (e1) | j (e2) | k (e3) | l (e4) | il (e5) | jl (e6) | kl (e7) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| i (e1) | −1 | k | −j | il | −l | −kl | jl |
| j (e2) | −k | −1 | i | jl | kl | −l | −il |
| k (e3) | j | −i | −1 | kl | −jl | il | −l |
| l (e4) | −il | −jl | −kl | −1 | i | j | k |
| il (e5) | l | −kl | jl | −i | −1 | −k | j |
| jl (e6) | kl | l | −il | −j | k | −1 | −i |
| kl (e7) | −jl | il | l | −k | −j | i | −1 |
Таблица (Кэли) умножения октонионов[3]:
Иногда заменяются буквенным обозначением:
Свойства
По теореме Фробениуса алгебра Кэли является единственной 8-мерной вещественной альтернативной алгеброй без делителей нуля.
Алгебра Кэли является алгеброй с однозначным делением и с единицей, альтернативной, но неассоциативной и некоммутативной.
Для октониона <math>x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl</math> операция сопряжения определена равенством:
- <math>x^* = x_0 - x_1\,i - x_2\,j - x_3\,k - x_4\,l - x_5\,il - x_6\,jl - x_7\,kl</math>.
Сопряжение удовлетворяет равенствам:
- <math>( xy)^*=y^* x^* </math> и
- <math> x^* =-\frac 16 (x+(ix)i+(jx)j+(kx)k+(lx)l+((il)x)(il)+((jl)x)(jl)+((kl)x)(kl)).</math>
Вещественная часть октониона <math>x</math> определена равенством:
- <math> \frac 12(x + x^*) = x_0 </math>,
мнимая часть:
- <math> \frac 12(x - x^*)</math>.
Норма октониона <math>x</math>: <math>\|x\| = \sqrt{x^* x}</math>; <math>\|x\|=0</math> тогда и только тогда, когда <math>x=0</math>. Из определения нормы следует, что октонион <math>x\ne 0</math> обратим и
- <math>x^{-1} = \frac {x^*}{\|x\|^2}</math>.
Из-за неассоциативности октонионы не имеют матричных представлений.
Примечания
Литература
- Джон Баэс. Октонионы Шаблон:Wayback // Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, № 1(5), Vol 3(2006), с.120-176.
Шаблон:Числа Шаблон:Алгебра над кольцом
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Ian Stewart: The Missing Link Шаблон:Wayback Шаблон:Недоступная ссылкаШаблон:Ref-en. Ссылка недоступна по состоянию на 6 ноября 2010.
Статья The missing linkШаблон:Недоступная ссылка на yahoo.com, русский перевод Шаблон:Wayback на scientific.ru. - ↑ Антисимметрия по диагонали для −1
