Русская Википедия:Алгебра Хопфа
Алгебра Хопфа — ассоциативная алгебра над полем, имеющая единицу и являющаяся также коассоциативной коалгеброй с коединицей (таким образом, являющаяся биалгеброй) c антигомоморфизмом специального вида. Названа в честь Хайнца Хопфа.
Алгебры Хопфа встречаются в алгебраической топологии, где они впервые возникли в связи с концепцией H-пространства, в теории групповых схем, в теории групп (благодаря концепции группового кольца) и не только. Частая распространенность делает их одним из самых известных примеров биалгебр. Алгебры Хопфа также изучаются как самостоятельный объект в связи с большим количеством определённых классов алгебр Хопфа и проблем их классификации.
Определение
Алгебра Хопфа — ассоциативная и коассоциативная биалгебра Шаблон:Mvar над полем <math>K</math> вместе с <math>K</math>-линейным отображением <math> S\colon H\to H </math> (называемым антиподом) таким, что следующая диаграмма коммутативна:
Здесь Шаблон:Math — коумножение биалгебры, Шаблон:Math — её умножение, Шаблон:Mvar — её единица и Шаблон:Mvar — её коединица. В обозначениях Свидлера, это свойство также может быть выражено как:
- <math> S (c _ {(1)}) c _ {(2)} =c _ {(1)} S (c _ {(2)}) = \epsilon (c) 1 \qquad \forall c \in H </math>.
Приведённое определение можно обобщить на алгебры над кольцами (достаточно в определении заменить поле <math>K</math> на коммутативное кольцо <math>R</math>).
Определение алгебры Хопфа двойственно самому себе (это отражено в симметрии приведённой диаграммы), в частности, пространство, двойственное к Шаблон:Mvar (которое всегда можно определить, если Шаблон:Mvar является конечномерным) автоматически является алгеброй Хопфа.
Свойства антипода
Антипод Шаблон:Mvar иногда обязан иметь Шаблон:Mvar-линейную инверсию, которая является автоматической в конечномерном случае, или если Шаблон:Mvar коммутативна или кокоммутативна (или, вообще говоря, квазитреугольная).
Вообще говоря, Шаблон:Mvar — антигомоморфизм[1], так Шаблон:Math — гомоморфизм, который является поэтому автоморфизмом, если Шаблон:Mvar было обратимо (как может требоваться).
Если <math> S^2 = Id </math>, то алгебра Хопфа, как говорят, является запутанной (и основная алгебра с запутанностью — *-алгебра). Если Шаблон:Mvar — конечномерная полупростая алгебра по полю характеристики ноль, коммутативная, или кокоммутативная, то это — запутанная алгебра.
Если биалгебра Шаблон:Mvar допускает антипод Шаблон:Mvar, то Шаблон:Mvar единственен («биалгебра допускает самое большее 1 структуру алгебры Хопфа»).[2]
Антипод — аналог к отображению инверсии на группе, которая посылает <math>g</math> к <math>g^{-1}</math>.[3]
Подалгебры Хопфа
Подалгебра Шаблон:Mvar алгебры Хопфа Шаблон:Mvar является подалгеброй Хопфа, если она является подкоалгеброй Шаблон:Mvar и антипод Шаблон:Mvar отображает Шаблон:Mvar в Шаблон:Mvar. Другими словами, подалгебра Хопфа Шаблон:Mvar — это подпространство в алгебре Хопфа, замкнутое относительно умножения, коумножения и антипода. Теорема Николса — Зеллер (Nichols — Zoeller) о свободности (1989) утверждает, что любой натуральный [[модуль над кольцом|Шаблон:Mvar-модуль]] имеет конечный ранг и свободен, если Шаблон:Mvar конечномерна, что даёт обобщение теоремы Лагранжа для подгрупп. Как следствие этой теории, подалгебра Хопфа полупростой конечномерной алгебры Хопфа автоматически полупроста.
Подалгебра Хопфа Шаблон:Mvar называется правой нормальной подалгеброй алгебры Хопфа Шаблон:Mvar, если она удовлетворяет условию стабильности, <math> ad_r (h) (A) \subseteq A </math> для всех Шаблон:Mvar из Шаблон:Mvar, где присоединённое действие <math> ad_r </math> определено как <math> ad_r (h) (a) = S (h _ {(1)}) a h _ {(2)} </math> для всех Шаблон:Mvar из Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar из Шаблон:Mvar. Точно так же подалгебра Хопфа Шаблон:Mvar является левой нормальной в Шаблон:Mvar если она инвариантна при левом сопряжении, определенном как <math> ad_ {\ell} (h) (k) = h _ {(1)} k S (h _ {(2)}) </math> для всех Шаблон:Mvar из Шаблон:Mvar. Оба условия нормальности эквивалентны, если антипод Шаблон:Mvar биективен. В этом случае говорят, что Шаблон:Math является нормальной подалгеброй Хопфа.
Нормальная подалгебра Хопфа Шаблон:Mvar в Шаблон:Mvar удовлетворяет условию (равенства подмножеств Шаблон:Mvar): <math> HA ^ + = A ^ + H </math>, где <math> A ^ + </math> обозначает ядро коединицы Шаблон:Mvar. Это условие нормальности подразумевает, что <math> HA ^ + </math> — идеал Хопфа алгебры Шаблон:Mvar (то есть является идеалом алгебры в ядре коединицы, коидеалом коалебры и устойчив под действием антипода). Как следствие, определена факторалгебра Хопфа <math> H / HA ^ + </math> и эпиморфизм <math> H \rightarrow H/A ^ + H </math>, аналогично соответствующим конструкциям нормальных подгрупп и факторгрупп в теории групп.[4]
Примеры
- Групповая алгебра. Пусть Шаблон:Mvar — группа. Алгебра Шаблон:Math — ассоциативная алгебра над Шаблон:Mvar, с единицей. Если мы определим
- Шаблон:Math для любого Шаблон:Mvar из Шаблон:Mvar,
- Шаблон:Math для любого Шаблон:Mvar из Шаблон:Mvar,
- Шаблон:Math для любого Шаблон:Mvar из Шаблон:Mvar,
то Шаблон:Math превращается в алгебру Хопфа.
- Диаграмма китайских иероглифов - связный граф, имеющий лишь трехвалентные вершины, с выделенным ориентированным циклом (петлей Вильсона), и фиксированным циклическим порядком тройки ребер, которые выходят из каждой вершины, не лежащей на петле Вильсона. Группа китайских диаграмм порядка <math>i</math> - свободный <math>G</math>-модуль, порожденный <math>2i</math>-вершинными диаграммами (которые рассматриваются с точностью до естественной эквивалентности), факторизованный по подмодулю, порожденному всевозможными <math>STU</math>-соотношениями[5].
Когомологии групп Ли
Алгебра когомологий группы Ли — алгебра Хопфа: умножение — стандартное произведение в кольце когомологий, а коумножение имеет вид
- <math> H ^ * (G) \rightarrow H ^ * (G\times G) \cong H ^ * (G) \otimes H ^ * (G) </math>
в силу умножения группы <math> G\times G\rightarrow G </math>. Это наблюдение было фактически источником понятия алгебры Хопфа. Используя эту структуру, Хопф доказал структурную теорему для алгебры когомологий групп Ли.
Теорема Хопфа[6] Пусть Шаблон:Mvar — конечномерная градуированно-коммутативная кокоммутативная алгебра Хопфа над полем характеристики 0. Тогда Шаблон:Mvar (как алгебра) — свободная внешняя алгебра с генераторами нечетной степени.
Квантовые группы
Все примеры выше являются либо коммутативными (то есть умножение коммутативное), либо кокоммутативными (то есть Шаблон:Math, где Шаблон:Math есть перестановка тензорных сомножителей, определенная как Шаблон:Math. Другими интересными примерами алгебр Хопфа — некоторые деформации, или «квантования», примера 3, которые не являются ни коммутативными, ни кокоммутативными. Эти алгебры Хопфа часто называют «квантовыми группами». Идея состоит в следующем: обычная алгебраическая группа может быть описана в терминах алгебры Хопфа регулярных функций. Мы можем тогда думать о деформации этой алгебры Хопфа как об описании некоторой «квантованной» алгебраической группы (хотя она и не является алгебраической группой ни в каком смысле). Многие свойства алгебраических групп, а также конструкции с ними имеют свои аналоги в мире деформированных алгебр Хопфа. Отсюда название «квантовая группа».
Аналогия с группами
Группы могут быть аксиоматизированы при помощи тех же диаграмм (эквивалентностей, операций), что и алгебры Хопфа, где Шаблон:Mvar — множество, а не модуль. В этом случае:
- поле Шаблон:Mvar заменено множеством из 1 элемента
- есть естественная коединица (отображение в единственный элемент)
- есть естественное коумножение (диагональное отображение)
- единица — нейтральный элемент группы
- умножение — умножение в группе
- антипод — взятие обратного элемента в группе
В этом смысле о группах можно думать как о алгебрах Хопфа над Шаблон:Не переведено 5.[7]
Примечания
Ссылки
- Шаблон:Citation.
- Pierre Cartier, A primer of Hopf algebrasШаблон:Недоступная ссылка, IHES preprint, September 2006, 81 pages
- Jurgen Fuchs, Affine Lie Algebras and Quantum Groups, (1992), Cambridge University Press. ISBN 0-521-48412-X
- H. Hopf, Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Ann. of Math. 42 (1941), 22-52. Reprinted in Selecta Heinz Hopf, pp. 119—151, Springer, Berlin (1964). Шаблон:MathSciNet
- Шаблон:Citation.
Литература
- ↑ Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu (2001), Prop. 4.2.6, p. 153 Шаблон:Wayback
- ↑ Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu (2001), Remarks 4.2.3, p. 151 Шаблон:Wayback
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ S. Montgomery, Hopf algebras and their actions on rings, Conf. Board in Math. Sci. vol. 82, A.M.S., 1993. ISBN 0-8218-0738-2
- ↑ В.А.Васильев - Топология дополнений к дискриминантам. М.: ФАЗИС, 1997.
- ↑ Hopf, 1941.
- ↑ Group = Hopf algebra " Secret Blogging Seminar Шаблон:Wayback, Group objects and Hopf algebras Шаблон:Wayback, video of Simon Willerton.
